Question

Dados os vetores M ( 1, -2, -2 ) e P ( 0, -1, 2), um vetor v colinear a PM e tal que v = raiz quadrada de 3, é ?

Answer 1

Olá


Acho que no início você quis dizer os pontos M e P, e não os vetores, senão, essa questão não faria sentido.



M = (1,-2,-2)
P = (0,-1,2)


Criando o vetor PM

PM = M - P

PM = (1,-2,-2) - (0,-1,2)

PM = (1-0, -2-(-1), -2 - 2)

PM = (1, -1, -4)



Se os vetores PM e V são colineares, então pode-se escrever o vetor V como combinação linear de PM.


v = βPM

v = β(1, -1, -4)

v = (β, -β, -4β)


Calcula o módulo 

Há um detalhe antes de calcular o módulo, o enunciado diz que o módulo de v tem que ser igual a √3, então, calcularemos o módulo e igualaremos a √3 para que a condição do enunciado seja satisfeita.


|v| = $\mathsf{ \sqrt{(\beta)^2+(-\beta)^2+(-4\beta)^2} }$ 

Como |v| = √3

√3 = $\mathsf{ \sqrt{(\beta)^2+(-\beta)^2+(-4\beta)^2} }$


Eleva os dois lados ao quadrado


(√3)² = $\mathsf{ (\sqrt{\beta^2+\beta^2+16\beta^2} )^2}$


3 = 18β²

β² = 3/18

β² = 1/6

β = $\pm\sqrt{\dfrac{1}{6}}$



Então


$\displaystyle\vec{v}\mathsf{~=~\pm \frac{1}{ \sqrt{6}}\cdot (1,-1,-4) }\\\\\\\boxed{\vec{v}\mathsf{\mathsf{~=~\left(\pm \frac{1}{ \sqrt{6}},~\pm \frac{1}{ \sqrt{6}},~\pm \frac{4}{ \sqrt{6}}\right) }}}$