Question

dados os vetores a=(3,4,2) e b=(2,1,1) obter um vetor de modulo 3 que seja ao mesmo tempo ortogonal aos vetores 2a-b e a b R:(6/raiz(30),3/raiz(30),-15/raiz(30))

Answer 1

Sendo a = (3,4,2) e b = (2,1,1), temos que:

2a - b = 2(3,4,2) - (2,1,1) = (6,8,4) - (2,1,1) = (4,7,3)

a + b = (3,4,2) + (2,1,1) = (5,5,3)

Considere que u = (x,y,z) é o vetor que queremos calcular, cujo módulo é igual a 3, ou seja,

$\sqrt{x^2+y^2+z^2} = 3$

x² + y² + z² = 9 (*)

Como u é ortogonal aos vetores 2a - b e a a + b, então:

(x,y,z).(4,7,3) = 0 ∴ 4x + 7y + 3z = 0 (**)

(x,y,z).(5,5,3) = 0 ∴ 5x + 5y + 3z = 0 (***)

Subtraindo (***) a (**), obtemos:

x - 2y = 0 ∴ x = 2y

Substituindo o valor de x em (**):

8y + 7y + 3z = 0

15y = - 3z

z = -5y

Substituindo x e z em (*):

4y² + y² + 25y² = 9

30y² = 9

$y^2 = \frac{9}{30}$

$y = +- \frac{3}{\sqrt{30}}$

Portanto, se $y = \frac{3}{\sqrt{30}}$, então:

$x = \frac{6}{\sqrt{30}}$ e $z = -\frac{15}{\sqrt{30}}$.

Logo, $v = (\frac{6}{\sqrt{30}}, \frac{3}{\sqrt{30}},- \frac{15}{\sqrt{30}})$