Question

Dados os vértices A(2,1,-1) e C(3,0-2) de uma diagonal do paralelogramo ABCD, sabendo-se que os lados AB e DC são paralelos à reta r: { x + 2y - 5 = 0 e 2y -z +3 = 0 e os outros dois lados são paralelos ao plano π : x + y + z + 2 = 0, pede-se: (a) Coordenandas do vértices B e D. (b) Equação geral do plano que contém o paralelogramo ABCD.

Obs. Está em anexo o enunciado da questão

Answer 1

B = (a,b,c)

a) r: $\left \{ {{x+2y-5 = 0 \Leftrightarrow y=- \frac{1}{2}x + \frac{5}{2} (I) } \atop {2y-z+3 =0 \Leftrightarrow z=2y+3 (II)}} \right.$
Consideram-se, P e P', dois pontos pertencentes à reta r, de modo que:
P' = P + (Δx,Δy,Δz), sendo (Δx,Δy,Δz) um vetor paralelo a r e igual a $\overrightarrow{PP'}$.
Pela equação (I):
$y=- \frac{1}{2}x+ \frac{5}{2} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \Delta y= -\frac{1}{2} \Delta x$
Pela equação (II):
$z=2y+3 \Rightarrow \frac{\Delta z}{\Delta y} = 2 \Leftrightarrow \Delta z= - \Delta x$
Logo, $(\Delta x,\Delta y,\Delta z) = \Delta x(1,-\frac{1}{2},-1).$
Como $\overrightarrow{AB}$ = (a-2,b-1,c+1) // r, então $\overrightarrow{AB}$ // $(1,- \frac{1}{2}, -1)$; dessa forma, $\overrightarrow{AB}$x$(1,- \frac{1}{2}, -1)$ = 0
$\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\a-2&b-1&c+1\\1& -\frac{1}{2} &-1\end{array}\right| = 0 \Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (b-1)(-1) - (c+1)(-\frac{1}{2}) = 0 \Leftrightarrow c-2b= -3 (III)$
$\Leftrightarrow (c+1) - (a-2)(-1) = 0 \Leftrightarrow c+a= 1 (IV)$
$\Leftrightarrow (a-2)(-\frac{1}{2}) - (b-1)= 0 \Leftrightarrow a+2b= 4 (V)$

Para o plano π: x + y + z + 2 = 0, faz-se uma transformação de sistema de coordenadas x' = x + 2, logo π: x' + y + z = 0, de forma que a origem de Ox'yz pertence a π. Dessa forma, o vetor (x',y,z) é paralelo ao plano π, mas como x' = x + 2, (x',y,z) = (x+2,y,z). Como (x+2,y,z).(1,1,1) = 0, (1,1,1) é ortogonal ao plano π, de modo que, para um vetor $\overrightarrow{u}$ ser paralelo a π, basta que $\overrightarrow{u}$.(1,1,1) = 0.
Como $\overrightarrow{BC}=(3-a,-b,-2-c)$ é paralelo a π:
(3-a,-b,-2-c).(1,1,1) = 0
3 - a - b - 2 - c = 0 $\Leftrightarrow$ a + b + c = 1 (VI)
Substituindo (IV) em (VI), b = 0.
Resolvendo as equações:
a = 4
b = 0
c = - 3

Então $\boxed{\boxed{B =(4,0,-3)}}$
Como D = C - $\overrightarrow{AB}$
D = (3,0,-2) - (2,-1,-2)

$\boxed{\boxed{D = (1,1,0)}}$

b) Como $\overrightarrow{AB}=(2,-1,-2)$ e $\overrightarrow{AD}=(-1,0,1)$ estão contidos no plano do paralelogramo, $\overrightarrow{AB}$x$\overrightarrow{AD}$ resulta em um vetor ortogonal a esse plano.
$\overrightarrow{AB}$x$\overrightarrow{AD}$ = $\left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-1&-2\\-1&0&1\end{array}\right|$
$\overrightarrow{AB}$x$\overrightarrow{AD}$ = (-1,0,-1)
Fazendo a seguinte substituição, x" = x + k, a fim de fazer o plano conter a origem Ox"yz, o vetor (x",y,z) será paralelo ao plano e, necessariamente, ortogonal a (-1,0,-1), logo:
(x",y,z).(-1,0,-1) = 0
x" + z = 0
x + k + z = 0
Escolhendo-se um ponto qualquer do plano, como por exemplo o ponto A:
2 + k - 1 = 0
k = - 1

Logo a equação do plano é $\boxed{\boxed{x+z-1=0}}$