Question

dados os pontos P(x,2) , A(4,-2) e B (2, -8). Calcule o numero real x de modo que o ponto P seja equidistante de A e B.

Answer 1

Para isso, calcule a distância de P a A em função de x e P a B em função também de x, assim, igualaremos a equação e acharemos x.

A distância d ao quadrado entre dois pontos deve ser igual à distância no eixo x dos pontos ao quadrado mais a distância no eixo y ao quadrado. 

Assim, d1² (d de PA ao quadrado) = (x - 4)² + [2 - (-2)]² (Pois essas são as distâncias nos eixos x e y).

d2² (d de PB ao quadrado) = (x - 2)² + [2 - (-8)]²

Da primeira equação, tem-se: d1² = x² -8x + 16 (pelo quadrado perfeito) + 4²
=> d1² = x² -8x + 32 

Da segunda equação, tem-se:  d2² = x² -4x + 4 + 10² 
=> d2² = x² -4x +104

Como P é equidistante de A e B, d1² se igualará a d2², assim, podemos achar o valor de x:

x² -8x + 32 = x² -4x + 104

Simplificando x² => -8x +4x = 104 -32 => -4x = 72 <=> x = -18