Question

Dados os pontos P(1,2,4), Q(2,3,2) e R(2,1,-1), determinar as coordenadas de um ponto S tal que P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo.

Answer 1

PQ=RS 
PQ = Q-P = (2,3,2)-(1,2,4)= (2,3,2)+(-1,-2,-4)=(1,1,-2)
RS = S-R=(x,y,z)-(2,1,-1)= (x,y,z)+(-2,-1,1) = (x-2, y-1, z+1)
PQ=RS
(1,1,-2)=(x+2,y-1,z+1)
x+2=1 --> x=-1
y-1=1 --> y=2
z+1=-2 --> z=-3
Então as coordenadas de S são (-1,2,-3)
:)

Answer 2

Para que os pontos P, Q, R e S sejam vértices de um paralelogramo, temos que as coordenadas do ponto S devem ser (1,0,1).

Para chegar a esse resultado, deve-se analisar as coordenadas dos pontos. Por elas é possível perceber que os pontos Q e R estão no mesmo plano x=2, logo eles formam uma aresta do paralelogramo. Como em um paralelogramo, arestas opostas são iguais, temos que:

QR = PS

R - Q = S - P

S = R - Q + P

S = (2,1,-1) - (2,3,2) + (1,2,4)

Aqui deve-se lembrar que as coordenadas de cada eixo são somadas e subtraídas individualmente.

S = (2 - 2 + 1 , 1 - 3 + 2 , - 1 - 2 + 4)

S = (1,0,1)

Logo, as coordenadas do ponto S são (1,0,1).

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