Question

Dados os pontos P(1,1), Q(3, −4) e
R(−5,2) que formam o triângulo PQR. Faça o que
se pede:
a) Encontre a reta suporte que passa pelos
pontos Q e R.
b) Encontre a reta perpendicular à reta obtida no
item A que passa no que passa pelo ponto P.
c) Determine o comprimento da base QR do
triângulo.
d) Determine a altura do triângulo em relação ao
lado QR.
e) Determine a área do triângulo PQR.

Answer 1

A reta suporte que passa pelos pontos Q e R é 3x + 4y = -7. A reta perpendicular que passa pelo ponto P é 4x - 3y = 1. O comprimento da base QR é 10. A altura do triângulo em relação a QR é $\frac{14}{5}$. A área do triângulo PQR é 14.

a) A equação da reta é da forma y = ax + b, sendo:

• a = coeficiente angular
• b = coeficiente linear.

Substituindo os pontos Q(3,-4) e R(-5,2) na equação y = ax + b, obtemos o seguinte sistema linear:

{3a + b = -4

{-5a + b = 2.

Da primeira equação, temos que b = -4 - 3a. Então, o valor do coeficiente angular é:

-5a - 4 - 3a = 2

-8a = 2 + 4

-8a = 6

a = $-\frac{6}{8}$.

Consequentemente, o valor do coeficiente linear é:

$b=-4-3(-\frac{6}{8})\\b=-4+\frac{18}{8}\\b=-\frac{14}{8}$.

Portanto, a equação da reta suporte é:

$y=-\frac{6x}{8}-\frac{14}{8}$

8y = -6x - 14

6x + 8y = -14

3x + 4y = -7.

b) A reta perpendicular à reta 3x + 4y = -7 possui o formato 4x - 3y = c. Substituindo as coordenadas do ponto P(1,1), encontramos o valor de c:

4.1 - 3.1 = c

4 - 3 = c

c = 1.

Portanto, a equação da reta perpendicular é 4x - 3y = 1.

c) Considere os pontos $A=(x_a,y_a)$ e $B=(x_b,y_b)$. A distância entre dois pontos é definida por:

• $d=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$.

Sendo assim, a distância entre os pontos Q e R é:

d² = (-5 - 3)² + (2 - (-4))²

d² = (-8)² + (2 + 4)²

d² = 64 + 6²

d² = 64 + 36

d² = 100

d = 10.

d) Dados os pontos P = (x₀,y₀) e a reta ax + by + c = 0, temos que a distância entre ponto e reta é definida por:

• $d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Calculando a distância entre o ponto P(1,1) e a reta 3x + 4y = -7, obtemos a altura:

$d=\frac{|3.1+4.1+7|}{\sqrt{4^2+3^2}}\\d=\frac{|14|}{\sqrt{16+9}}\\d=\frac{14}{\sqrt{25}}\\d=\frac{14}{5}$.

e) Sabemos que a área do triângulo é igual a metade do produto da base pela altura. Portanto, a área do triângulo PQR é:

$S=\frac{10.\frac{14}{5}}{2}\\S=\frac{14.2}{2}\\S=14$.