Question

dados os pontos M(2,0) e N(0,2),determine P de modo que o triângulo MNP seja e quilátero

Answer 1

Um triângulo equilátero é um triângulos com medidas iguais. Portanto as distâncias entre os três pontos precisam ser iguais. Para saber esta distância, calcularei primeiro a distância entre M e N


DM,N=√(2-0)²+(0-2)²=√4+4=√8=2√2

Agora vou chamar as coordenadas de P de x e y, P(x,y). Vamos calcular agora sua distância dos pontos

DP,M=√(2-x)²+(0-y²)=√4-4x+x²+y²
DP,N=√(0-x)²+(2-y)²=√x²+4-4y+y²

Igualando:
√4-4x+x²+y²=√x²+y²+4-4y (elevando tudo ao quadrado)
4-4x+x²+y²=x²+y²+4-4y
4-4x=4-4y
-4x=-4y
4x=4y
x=y

As coordenadas do ponto P são iguais.

DP,M=√4-4x+x²+x²=√4-4x+2x²

Mas o que nós queremos é que o radicando de 8, logo

2x²-4x+4=8
2x²-4x-4=0 (dividindo tudo por 2)
x²-2x-2=0
x=2+-√(-2)²-4.1.-2/2.1
x=2+-√4+8/2
x=2+-√12/2
12=4.3

x=2+-2√3/2
x'=2+2√3/2=1+√3
x"=2-2√3/2=1-√3

Encontramos os possíveis valores de x. Só que x=y, portanto

x'=y'=1+√3
x"=y"=1-√3

Estes são os possíveis valores para as coordenadas do Ponto P.