Question

Dados os pontos M(2,0) e N(0,2), determine P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.

Answer 1

Para que seja equilátero é preciso que tenham todas as medidas iguais ... 

A distância entre m e n precisa ser a mesma entre P e M e P e N 

Temos o ponto P = (x,y) 

Agora basta usar a fórmula: 

d² = (xb - xa)² + (yb - ya)² 

d² = (0 - 2)² + (2 - 0)² 

d² = 4 + 4 

d² = 8 --------------MN 

Agora PM 

d² = (x-2)² + (y-0)² 

d² = (x-2)² + y² 

Agora PN 

d² = (x-0)² + (y-2)²  

d² = x² + (y-2)²

E sabemos que todos os lados são iguais ... 

x² + (y-2)² = y² + (x-2)² 

x² + y² - 4y + 4 = y² + x² - 4x + 4 

- 4y = - 4x  

4y = 4y 

y = x 

Agora volto em uma substituindo e igualando a 8 ... 

(x - 2)² + y² = 8 

(x - 2)² + x² = 8 

x² - 4x + 4 + x² = 8 

2x² - 4x + 4 - 8 = 0 

2x² - 4x - 4 = 0  (divido todos por 2) 

x² - 2x - 2 = 0 

Δ = 4 + 8 

Δ = 12 

x = (2+- √12)/2 

x = (2 +- √2².3)/2 

x = (2 +- 2√3)/2 

x' = 1 + √3 

x'' = 1 - √3 

Para x = 1 + √3, y = 1 + √3 

Para y = 1 - √3, y = 1 -√3 

Assim o ponto P tem duas possibilidades ... 



P = (1+√3 , 1+√3) 

ou 

P = (1-√3 , 1-√3)                                      ok