Question

Dados os pontos M(2, 0) e N(0, 2), determine P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.

Obs: o gabarito diz: (1+√3, 1+√3) ou (1-√3, 1-√3), mas n consigo chegar a ele
já vi varias respostas a esta questão, nunca com resultado correto.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Stelalouis, que a resolução é simples. É apenas um pouco trabalhosa, pois teremos que encontrar as distâncias entre os pontos M e N, entre M e P e entre N e P.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: Dados os pontos M(2;  0) e N(0; 2), determine P de modo que o triângulo MNP seja equilátero.
Veja: vamos chamar as coordenadas do ponto P de "x" e de "y". Ou seja, o ponto P procurado será: P(x. y).

ii) Como queremos que o triângulo MNP seja equilátero, então todos os seus três lados serão iguais. Ou seja, deveremos ter: MN = MP = NP.
Agora vamos encontrar as distâncias MN, MP e NP. Assim, teremos:

ii.1) Encontrando a distância de M(2; 0) a N(0; 2), teremos:

(MN)² = (0-2)² + (2-0)²
(MN)² = (-2)² + (2)²
(MN)² = 4 + 4
(MN)² = 8            . (I)

ii.2) Encontrando a distância de M(2; 0) a P(x; y), teremos:

(MP)² = (x-2)² + (y-0)²
(MP)² = x²-4x+4 + y² ---- ou, ordenando, teremos:
(MP)² = x² + y² - 4x + 4       . (II)

ii.3) Encontrando a distância N(0; 2) a P(x; y), teremos:

(NP)² = (x-0)² + (y-2)²
(NP)² = x² + y² - 4y + 4       . (III)

iii) Como queremos que o triângulo seja equilátero (tem os seus três lados iguais), então vamos igualar as distâncias (II) e (III) acima. Assim, teremos:

x² + y² - 4x + 4 = x² + y² - 4y + 4 ---- passando todo o 2º membro para o 1º, ficaremos:

x² + y² - 4x + 4 - x² - y² + 4y - 4 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:

-4x + 4y = 0 ---- ou, passando "4y" para o 2º membro:
- 4x = - 4y ---- multiplicando-se ambos os membros pro "-4", ficaremos apenas com:

x = y  <---- Veja que o "x" é igual a "y".

iv) Então faremos o seguinte: vamos em quaisquer uma das duas últimas expressões [ou na (II) ou na (III)] e, em quaisquer uma delas, vamos substituir o "y" por "x", já que eles são iguais. Vamos na expressão (II), que é esta:

x² + y² - 4x + 4 ---- como já vimos que x = y, então substituiremos "y" por "x".
Assim, fazendo isso, teremos:

x² + x² - 4x + 4  ----- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
2x² - 4x + 4  ---- agora veja: como todas as expressões são iguais (trata-se de um triângulo equilátero: tem todos os 3 lados iguais), então poderemos igualar a expressão acima a "8", conforme vimos na expressão (I), que é o valor que encontramos em (MN)² = 8. Assim, igualando a "8" a expressão acima, teremos:

2x² - 4x + 4 = 8 ---- passando "8" para o primeiro membro, temos:
2x² - 4x+ 4 - 8 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
2x² - 4x - 4 = 0 ---- para facilitar, poderemos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos assim:

x² - 2x - 2 = 0 ----- Vamos aplicar Bháskara, cuja fórmula é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, substituindo:
x = [-b ± √(b²-4ac)]/2a ---- fazendo as devidas substituições, temos;
x = [-(-2) ± √((-2)² - 4*1*(-2))]/2*1
x = [2 ± √(4+8)]/2
x = [2 ± √(12)]/2 ---- note que 12 = 2².3. Assim:
x = [2 ± √(2².3)]/2 ---- como o "2" está ao quadrado então ele sai de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

x = [2 ± 2√(3)]/2 ----- simplificando-se tudo por "2", iremos ficar com::
x = 1 ± √(3) ----- daqui você já conclui que:

x' = 1 - √(3)
x'' = 1 + √(3).

Ora, mas como já vimos que x = y, então teremos que o ponto P(x; y) poderá ter as seguintes coordenadas:

- Quando x = 1 - √(3), teremos que "y" terá esse mesmo valor (x = y). Logo:

P(1-√3; 1-√3)

- quando x = 1 + √(3), teremos que "y" terá esse mesmo valor (x =- y). Logo:

P(1+√3; 1+√3).

Portanto, está correto o gabarito da sua questão que diz que o ponto P poderá ter as coordenadas a que acima nos referimos, ok?

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.