Question

Dados os pontos D (x,2) , E (-3,4) e F (1,-2), determine o valor de x para que os vetores u= DE e v= EF sejam paralelos

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas sobre geometria analítica e vetores.

Em um sistema de coordenadas, sejam os pontos $A=(x_0,~y_0)$ e $B=(x_1,~y_1)$. O vetor diretor da reta que une os pontos $A$ e $B$ é dado por $\overrightarrow{AB}=B-A=(x_1-x_0,~y_1-y_0)$.

Dois vetores são paralelos quando podem ser escritos como múltiplo escalar um do outro, isto é, $\vec{u}//\vec{v}\Leftrightarrow \vec{u}=\lambda\cdot \vec{v},~\lambda\in\mathbb{R}$.

Então, calculamos os vetores $u=\overrightarrow{DE}$ e $v=\overrightarrow{EF}$ a partir da primeira propriedade:

$\vec{u}=E-D\\\\\\ \vec{u}=(-3,~4)-(x,~2)\\\\\\ \vec{u}=(-3-x,~4-2)\\\\\\ \boxed{\vec{u}=(-3-x,~2)}\\\\\\ \vec{u}=F-E\\\\\\ \vec{v}=(1,\,-2)-(-3,~4)\\\\\\ \vec{u}=(1-(-3),\,-2-4)\\\\\\ \boxed{\vec{u}=(4,\,-6)}$

Por fim, utilizamos a segunda propriedade para encontrarmos calcularmos o valor de $\lambda$:

$\vec{u}=\lambda\cdot\vec{v}\\\\\\ (-3-x,~2)=\lambda\cdot(4,\,-6)\\\\\\ (-3-x,~2)=(4\lambda,\,-6\lambda)$

Igualando as coordenadas correspondentes dos vetores, temos o sistema:

$\begin{cases}-3-x=4\lambda\\2=-6\lambda\\\end{cases}$

Na segunda equação, dividimos ambos os lados da igualdade por um fator $(-6)$ e simplificamos a fração:

$\lambda=-\dfrac{1}{3}$

Substituímos o valor de $\lambda$ na primeira equação e calculamos o valor de $x$:

$-3-x=4\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)\\\\\\ x=-3+\dfrac{4}{3}\\\\\\ \boxed{x=-\dfrac{5}{3}}~~\checkmark$

Este é o valor de $x$ que satisfaz esta condição.