Question

Dados os pontos C (0,1,-1) e D (1,2,-1) e os vetores u = (-2,-1,1), v = (3,0,-1) e w = (-2,2,2), verificar se existem os números a1, a2 e a3 tais que $w = a1CD + a2 u +a3 v$.

Answer 1

Encontrar o vetor $\overrightarrow{\mathbf{CD}}$:

$\overrightarrow{\mathbf{CD}}=D-C\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{CD}}=\left(1,\,2,\,-1 \right )-\left(0,\,1,\,-1 \right )\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{CD}}=\left(1-0,\,2-1,\,-1-\left(-1 \right ) \right )\\ \\ \overrightarrow{\mathbf{CD}}=\left(1,\,1,\,0 \right )$


Verificar se existem constantes $a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$ tais que

$\mathbf{w}=a_{1}\overrightarrow{\mathbf{CD}}+a_{2}\mathbf{u}+a_{3}\mathbf{v}\\ \\ \left(-2,\,2,\,2 \right )=a_{1}\left(1,\,1,\,0 \right )+a_{2}\left(-2,\,-1,\,1 \right )+a_{3}\left(3,\,0,\,-1 \right )\\ \\ \left(-2,\,2,\,2 \right )=a_{1}\left(1,\,1,\,0 \right )+a_{2}\left(-2,\,-1,\,1 \right )+a_{3}\left(3,\,0,\,-1 \right )$


Basta veificar se os vetores

$\overrightarrow{\mathbf{CD}}=\left(1,\,1,\,0 \right )\\ \\ \mathbf{u}=\left(-2,\,-1,\,1 \right )\\ \\ \mathbf{v}=\left(3,\,0,\,-1 \right )$

são linearmente independentes. Caso sejam, estes vetores formam uma base para $R^{3}$ e qualquer vetor de $R^{3}$ pode ser escrito como uma combinação linear entre eles. Para que estes vetores sejam L.I., devemos ter

$\det \left[ \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathbf{CD}}\\ \mathbf{u}\\ \mathbf{v} \end{array} \right ]\neq 0$


Calculando o determinante acima, temos

$\det \left[ \begin{array}{c} \overrightarrow{\mathbf{CD}}\\ \mathbf{u}\\ \mathbf{v} \end{array} \right ]= \det \left[ \begin{array}{rrr} 1&1&0\\ -2&-1&1\\ 3&0&-1 \end{array} \right ]\\ \\ \\ =1 \cdot \left(-1 \right )\cdot \left(-1 \right )+1\cdot 1 \cdot 3+0\cdot \left(-2 \right)\cdot 0\\ -3 \cdot \left(-1 \right )\cdot 0-0\cdot 1 \cdot 1-\left(-1 \right )\cdot \left(-2 \right )\cdot 1\\ \\ =1+3+0\\ -0-0-2\\ \\ =4-2\\ \\ =2\neq 0$


Logo, os vetores $\overrightarrow{\mathbf{CD}},\,\mathbf{u},\,\mathbf{v}$ são L.I., e portanto, qualquer vetor de $R^{3}$ pode ser escrito como uma combinação linear entre eles. Particularmente, existem constantes $a_{1},\,a_{2},\,a_{3}$ tais que

$\mathbf{w}=a_{1}\overrightarrow{\mathbf{CD}}+a_{2}\mathbf{u}+a_{3}\mathbf{v}$

Answer 2

A resposta do mesmo fatou dizer quem são os a1, a2 e a3 !!