Question

Dados os pontos A(m, 1, 0), B(m, -1, 2m, 2) e C(1, 3, -1), determine m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A.

Answer 1

dbc
B( m-1,2m,2) e C(1,3,- 1)
dbc² = ( 1 - ( m - 1 ))² + ( 3 - 2m )² + ( - 1 - 2)²
dbc² = ( 1 - m + 1)² + 9 - 12m + 4 +  9
dbc² = ( 2 - m ) ² + 9 - 12m + 4 + 9
dbc² = 4 - 4m + m² - 12m + 22
dbc² = m² - 16m + 26
dbc = √m² - 16m + 26 beleza o lado BC que é a hipotenuza

dba
B(m - 1,2m,2 ) e A(m, 1,0 )
dba² = ( m - ( m - 1 ))² + ( 1 - 2m )² + ( 0 - 2 )²
   "   = ( m - m + 1 )² + ( 1- 4m + 4m² + 4
   "   = 1 + 1 - 4m + 4m² + 4 
 dba =√4m² - 4m + 6 lado BA

dac
A(m,1,0) e C(1,3,- 1)
dac² = ( 1- m )² + ( 3 - 1 )² + ( - 1 -0 )²
  "    = 1 - 2m + m² + 4 + 1
dac² = m² - 2m + 6 
dac = √m² - 2m + 6, lado AC
agora sim vamos jogar no pitágoras 
( BC )² = (BA)² + (AC )²
(√m² - 16m + 26 )² = (√4m² - 4m + 6)² + ( √m² - 2m + 6 )²
m² - 16m + 26 = 4m² - 4m + 6 + m² - 2m + 6 
m² - 16m + 26 - 4m² - 6 - m² + 2m - 6 = 0
- 4m² - 10m + 14 = 0 enfim uma equação conhecida equação do 2° grau, vamos multiplicar (- 2)
2m² + 5m - 7 = 0
Δ = b² - 4*a*c
Δ = 5² - 4 * 2 * ( - 7 )
Δ = 25 + 56
Δ = 81

x = - b + - √Δ / 2*a
x = - 5 + - √81 / 2 * 2 
x = - 5 + - 9 / 4
x1 = -5 + 9 / 4 = 4 / 4 = 1
x2 = - 5 - 9 / 4 = - 14 / 4 , despresa a negativa pois não existe distancia negativa
S = { 1 } , beleza m tem que ser igual a 1 p/ que o triangulo seja retangulo 
vamos fazer uma verificação 
(dBC)² = (dBA)² + (dAC)²
dbc= (√1² - 16* 1 + 26)² = ( √4* 1² - 4*1 + 6)² + ( √1² - 2* 1 + 6)²
         (√1 -16 + 26 )³ (√4 - 4 + 6 )² + ( √1 - 2 + 6)²
(√11)² =( √6)² + ( √5)²
  11 = 6 + 5 
   11 = 11 perfeito verificação bateu. é isso ai bons estudos .