Question

Dados os pontos A (×,5);B(-1,2) e C(3,0), calcular "x" de modo que o ponto A equidistante e dos pontos B e C.

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

O termo equidistância quer dizer "a mesma distância" entre duas coisas, no nosso caso temos uma equidistância entre pontos, sendo mais preciso a equidistância entre AB e AC, isso significa dizer que a distância entre AB é a mesma distância entre AC, podemos escrever isso da seguinte forma:

$\boxed{ \sf d_{a,b} = d_{a,c}}$

Para resolver essa questão, temos que calcular a distância entre os pontos AB e AC após isso devemos igualar os resultados.

I) Distância AB:

Para isso, vamos usar a fórmula:

$\bigstar \: \sf d_{a,b}= \sqrt{(x_b - x_a) {}^{2} - (y_b - y_a) {}^{2}} \: \bigstar$

Organizando os dados:

$\begin{cases} \sf A (x,5) \rightarrow x_a = x \: \: \: y_a = 5\\\sf B(-1,2) \rightarrow x_b = - 1 \: \: \: \: y_b = 2\end{cases}$

Substituindo:

$\sf d_{a,b} = \sqrt{(x_b - x_a) {}^{2} + (y_b - y_a) {}^{2}} \\ \sf d_{a,b} = \sqrt{( - 1 - x) {}^{2} + (2 - 5) {}^{2} } \\ \sf d_{a,b} = \sqrt{( - 1 - x) {}^{2} + ( - 3) {}^{2} } \\ \sf d_{a,b} = \sqrt{( - 1 - x) {}^{2} + 9 }$

Resolvendo o produto notável:

$\begin{cases} \sf( - 1 - x) {}^{2} = ( - 1 - x).( - 1 - x) \\ \sf ( - 1).( - 1) - x.( - 1) - x .( - 1) -x.( - x) \\ \sf 1 + x + x + x {}^{2} \\ \boxed{\sf x {}^{2} + 2x + 1} \end{cases}$

Substituindo na expressão novamente:

$\sf d_{a,b} = \sqrt{x {}^{2} + 2x + 1 + 9} \\ \sf d_{a,b} = \sqrt{x {}^{2} + 2x + 10 }$

Reserva essa expressão ↑.

II) Distância AC:

Vamos seguir os mesmos passos do cálculo anterior:

$\bigstar \: \sf d_{a,c}= \sqrt{(x_c - x_a) {}^{2} - (y_c - y_a) {}^{2}} \: \bigstar$

Organizando os dados:

$\begin{cases} \sf A (x,5) \rightarrow x_a = x \: \: \: y_a = 5\\\sf C(3,0) \rightarrow x_c = 3\: \: \: \: y_c = 0\end{cases}$

Substituindo:

$\sf d_{a,c} = \sqrt{(x_c - x_a) {}^{2} + (y_c - y_a) {}^{2}} \\ \sf d_{a,c} = \sqrt{(3 - x) {}^{2} + (0 - 5) {}^{2} } \\ \sf d_{a,c} = \sqrt{(3 - x) {}^{2} + ( - 5) {}^{2} } \\ \sf d_{a,c} = \sqrt{(3- x) {}^{2} + 25 }$

Resolvendo o produto notável:

$\begin{cases}\sf (3 - x) {}^{2} = (3 - x).(3 - x) \\ \sf 3.3 - 3.( - x) - 3.( - x) - x.( - x) \\ \sf 9 - 3x - 3x + x {}^{2} \\ \boxed{\sf x{}^{2} - 6x + 9} \end{cases}$

Substituindo novamente na expressão:

$\sf d_{a,c} = \sqrt{x {}^{2} - 6x + 9 + 25} \\ \sf d_{a,c} = \sqrt{x {}^{2} - 6x + 34 }$

Reserva essa expressão ↑.

Note que no começo da questão, criamos uma relação de igualdade entre a distância AB e AC, ou seja, devemos igualar esses dois valores:

$\sf \sqrt{x {}^{2} + 2x + 10} = \sqrt{x {}^{2} - 6x + 34}$

Para cancelar essas raízes, vamos elevar ambos os membros ao quadrado:

$\sf ( \sqrt{x {}^{2} + 2x + 10} ) {}^{2} = ( \sqrt{x {}^{2} - 6x + 34 } ) {}^{2} \\ \\ \sf x {}^{2} + 2x + 10 = x {}^{2} - 6x + 34 \\ \\ \sf x {}^{2} - x {}^{2} + 2x + 6x = 34 - 10 \\ \\ \sf 8x = 24 \\ \\ \sf x = \frac{24}{8} \\ \\ \boxed{\sf x = 3}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️