Question

dados os pontos A(4, 0, -1) e B(2, -2, 1) e os vetores u=(2, 1, 1) e v=(-1,-2, 3), o vetor x tal que 3x+2v=x+(AB.U)v é ?

Answer 1

 3x + 2v = x +(AB ∙ u)v 

3x + 2(-1,-2,3) = x +[(-2, -2, 2) ∙ (2,1,1)]∙(-1,-2,3) 

3x + (-2, -4, 6) = x +[-4 -2 + 2 ]∙(-1,-2,3) 

3x + (-2, -4, 6) = x + (-4)∙(-1,-2,3) 

3x + (-2, -4, 6) = x + (4, 8, -12) 

3x -x = (4, 8, -12) - (-2, -4, 6) 

2x = (6, 12, -18) 

x = (6/2, 12/2, -18/2) 

x = (3, 6, -9) 

Answer 2

O vetor x tal que a expressão é verdadeira é (3, 6, -9).

Produto escalar

A definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:

$u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

Precisamos encontrar um vetor x tal que a expressão abaixo seja verdadeira:

3x + 2v = x + (AB·u)v

Seja x o vetor (a, b, c), teremos que:

AB = B - A = (2 - 4, -2 - 0, 1 - (-1))

AB = (-2, -2, 2)

3(a, b, c) + 2(-1, -2, 3) = (a, b, c) + (-2, -2, 2)·(2, 1, 1)(-1, -2, 3)

(3a - 2, 3b - 4, 3c + 6) = (a, b, c) + (-2·2 + (-2)·1 + 2·1)(-1, -2, 3)

(3a - 2, 3b - 4, 3c + 6) = (a, b, c) + (-4)(-1, -2, 3)

(3a - 2, 3b - 4, 3c + 6) = (a + 4, b + 8, c - 12)

Igualando cada coordenada:

3a - 2 = a + 4

2a = 6

a = 3

3b - 4 = b + 8

2b = 12

b = 6

3c - 6 = c - 12

2c = -18

c = -9

O vetor x é (3, 6, -9).

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