Question

Dados os pontos A = (3,4) , B(6,-2) e C= (4,6), encontre a equação cartesiana do círculo inscrito ao triângulo
ABC.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{(x-13+\sqrt{85})^2+(y-4)^2=(4\sqrt{5}-2\sqrt{17})^2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos relembrar algumas propriedades de geometria analítica.

Sabemos que o centro da circunferência inscrita em um triângulo é denominado incentro, encontrado a partir da intersecção das bissetrizes, retas que dividem os ângulos do triângulo na metade.

Então, sejam os vértices do triângulo $A~(3,~4)$, $B~(6,~-2)$ e $C~(4,~6)$. Para encontrarmos a equação da circunferência, devemos encontrar as coordenadas do incentro e o raio, a partir de uma fórmula parecida.

Primeiro, devemos encontrar ao menos duas bissetrizes. Para isso, utilizaremos a fórmula

$\dfrac{a_1x+b_1y+c}{\sqrt{{a_1}^2+{b_1}^2}}=\pm\dfrac{a_2x+b_2y+c}{\sqrt{{a_2}^2+{b_2}^2}}$, na qual $a_1x+b_1y+c=0$ e $a_2x+b_2y+c=0$ são as equações gerais das retas que passam por dois vértices dos triângulos.

Para encontrarmos estas retas, utilizamos matrizes, dada a condição de alinhamento de três pontos, sendo um deles genérico. Sabemos que:

$\begin{vmatrix}x_1 & y_2 &1 \\ x_1&y_2 &1 \\ x& y & 1\end{vmatrix}=0$, logo substituindo as coordenadas dos vértices e calculando os determinantes, descobrimos que

• A reta que passa pelos vértices A e C é $-2x+y+2=0$.
• A reta que passa pelos vértices A e B é $2x+y-10=0$.
• A reta que passa pelos vértices B e C é $4x+y-22=0$.

Ao utilizarmos as fórmulas das bissetrizes, descobrimos que:

• A bissetriz que passa pelo vértice A tem equação $y=4$.
• A bissetriz que passa pelo vértice C tem equação $(\sqrt{17}-\sqrt{5})y=(4\sqrt{5}+2\sqrt{17})x-22\sqrt{5}-2\sqrt{17}$.

Ao igualarmos estas duas equações, encontraremos as coordenadas do incentro:

$(\sqrt{17}-\sqrt{5})\cdot 4=(4\sqrt{5}+2\sqrt{17})x-22\sqrt{5}-2\sqrt{17}\\\\\\ 4\sqrt{17}-4\sqrt{5}=(4\sqrt{5}+2\sqrt{17})x-22\sqrt{5}-2\sqrt{17}\\\\\\ 6\sqrt{17}+18\sqrt{5}=(4\sqrt{5}+2\sqrt{17})x\\\\\\ x=13-\sqrt{85}$

As coordenadas são $I~(13-\sqrt{85},~4)$.

O raio será encontrado utilizando a fórmula de distância do ponto à reta.

$d_{pr}=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Sabendo que o a distância do incentro é igual para qualquer lado do triângulo, podemos utilizar qualquer uma delas. A reta que usaremos será a que passa pelos vértices A e C: $-2x+y+2=0$.

$d_{pr}=\dfrac{|-2(13-\sqrt{85})+4+2|}{\sqrt{(-2)^2+1^2}}$

Calculando os valores, descobrimos que

$d_{pr}=4\sqrt{5}-2\sqrt{17}$.

Dessa forma, podemos substituir essas informações na equação reduzida da circunferência inscrita:

$(x-x_I)^2+(y-y_I)^2=r^2$

Portanto, a equação da circunferência é:

$(x-13+\sqrt{85})^2+(y-4)^2=(4\sqrt{5}-2\sqrt{17})^2$

Veja a imagem em anexo: a circunferência tem equação em roxo.