Question

Dados os pontos A(2 , 3) e B(-1 , -4), determine a equação de uma reta r perpendicular a uma reta determinada pelos pontos A e B, e que passa pelo ponto C(-1 , 2). *


a)3x= 7y - 11

b)3x - 7y -14 = 0

c)-3x - 7y = 14

d)7y = 3x - 12

e)3x + 7y - 11= 0

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Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

A primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A e B, para isso vamos usar a fórmulazinha:

$\boxed{ \sf{m = \frac{yb - ya}{xb - xa} }}$

Os elementos xa, ya.. representam as abscissas e ordenadas dos pontos A e B, sabendo isso vamos organizá-las para facilitar a substituição:

$\begin{cases} \sf \: A(2 , 3) \rightarrow \: xa = 2 \: \: \: ya = 3 \\ \sf B(-1 , -4) \rightarrow xb = - 1 \: \: \: yb = - 4\end{cases}$

Substituindo:

$\sf \: m = \frac{ - 4 - 3}{ -1- 2} \\ \sf \: m = \frac{ - 7}{ - 3} \\ \boxed{\sf \: m = \frac{7}{3} }$

Tendo conhecimento do coeficiente angular já podemos partir para a montagem da reta "r" que passa pelo ponto C e é perpendicular a reta que passa por A e B. Observe essa informação que a questão nos fornece, de que as retas são perpendiculares, para melhorar nosso entendimento vou listar uma coisinha sobre retas perpendiculares:

• Retas perpendiculares.

Para que elas possuam essa classificação, o coeficiente angular de ambas deve ser igual ao oposto do inverso entre si, ou seja, se o coeficiente de uma é 2 o coeficiente da outra deve ser o inverso do oposto de 2, ou seja, -1/2. Para não ter que fazer esses cálculos mentalmente, temos uma relação preestabelecida dada por:

$\boxed{ \sf \: mr = \frac{ - 1}{ms}}$

Vamos substituir o coeficiente nessa relação:

$\sf \: mr = \frac{ - 1}{ \frac{7}{3} } \\ \\ \sf mr = \frac{ - 1}{1}. \frac{3}{7} \\ \\ \boxed{\sf mr = - \frac{ 3}{7} }$

Esse é coeficiente da reta "r", para finalizar é só substituir os dados pontos C e coeficiente na equação fundamental da reta.

$\sf \: C(-1 , 2) \rightarrow xo = - 1 \: \: \: yo = 2$

Substituindo:

$\sf \: y - yo = m.(x - xo) \\ \\ \sf y - 2 = - \frac{ 3}{7} .(x - ( - 1)) \\ \\ \sf \: y - 2 = - \frac{ 3}{7} .(x + 1) \\ \\ \sf \: y - 2 = - \frac{3x}{7} - \frac{3}{7} \\ \\ \sf \: mmc = 7 \\ \\ \sf 7y - 14 = - 3x - 3 \\ \\ \sf \: 7y + 3x - 14 + 3 = 0 \\ \\ \boxed{\sf 7y + 3x - 11 = 0}$

Letra e)

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️