Question

Dados os pontos A(2,-3), B(2,1) e C(c,-1), calcule o valor de c para que as retas-suporte dos segmentos AC e BC sejam perpendiculares.

Answer 1

Para que duas retas sejam perpendiculares o produto de seus coeficientes angulares deve dar -1.

Vamos achar o coeficiente angular de cada uma, fazer o produto e igualar a -1.

Coeficiente angular da reta AC : A(2,-3) e C(c,-1)

$\displaystyle \text m_{\text{AC}} = \frac{-1-(-3)}{\text c- 2 } \to \text m_{\text{AC}} = \frac{2}{\text c-2}$

Coeficiente angular da reta BC : B(2,1) e C(c,-1) :

$\displaystyle \text m_{\text{BC}} = \frac{-1-1}{\text c- 2 } \to \text m_{\text{BC}} = \frac{-2}{\text c-2}$

Temos que ter o seguinte :

$\displaystyle \text m_{\text{AC}}.\text m_{\text{BC}} = -1 \\\\ \frac{2}{(\text c-2)}.\frac{-2}{(\text c-2)}=-1 \\\\ \frac{-4}{(\text c-2)^2} = -1 \\\\ (\text c-2)^2 = 4 \\\\ \sqrt{(\text c-2)} = \pm\sqrt{4} \to (\text c-2) = \pm 2$

Mas sabemos que :

$\sqrt{\text c-2} \ \to \ \text c - 2 \geq 0 \ \to \ \text c \geq 2$

Portanto :

$(\text c-2) = \pm 2 \\\\ \text c-2 = 2 \\\\ \huge\boxed{\text c = 4}\checkmark$