Question

Dados os pontos A= (2, 1, 3) B= (1, 0, -1) e C= (-1, 2, 1), encontre a medida de cada um dos três ângulos internos do triângulo ABC

Answer 1

Considerando os vetores $\vec{AB}=(-1,-1,-4)$, $\vec{AC}=(-3,1,-2)$ e $\vec{BC}=(-2,2,2)$ e seus respectivos comprimentos $AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\text{ u.c}$, $AC=\sqrt{14}=\sqrt{7}\cdot\sqrt{2}\text{ u.c}$ e $BC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\text{ u.c}$, podemos calcular os ângulos internos do triângulo calculando o ângulos entre estes 3 vetores.

Sabe-se que o ângulo $\theta$ entre dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ obedece à relação:

$\vec{u}\cdot\vec{v}=u\cdot v\cdot\cos\theta$

Como estamos querendo ângulos de um triângulo, temos que $0<\theta<180^\circ$ então, para não nos preocuparmos com o sentido em que o vetor está, vamos utilizar a fórmula $|\vec{u}\cdot\vec{v}|=u\cdot v\cdot\cos\theta$, obtendo assim sempre o ângulo neste intervalo.

Começando com o ângulo $\theta_1$ entre $\vec{AB}$ e $\vec{AC}$:

$|\vec{AB}\cdot\vec{AC}|=AB\cdot AC\cdot\cos\theta_1$

$|(-1,-1,-4)\cdot(-3,1,-2)|=3\sqrt{2}\cdot \sqrt{7}\cdot\sqrt{2}\cdot\cos\theta_1$

$|3-1+8|=6\sqrt{7}\cos\theta_1$

$10=6\sqrt{7}\cos\theta_1$

$\cos\theta_1=\frac{5}{3\sqrt{7}}$

$\theta_1=\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{7}}\right)\cong 50,954^\circ$

Indo agora para o ângulo $\theta_2$ entre $\vec{AB}$ e $\vec{BC}$:

$|\vec{AB}\cdot\vec{BC}|=AB\cdot BC\cdot\cos\theta_2$

$|(-1,-1,-4)\cdot(-2,2,2)|=3\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot\cos\theta_2$

$|2-2-8|=6\sqrt{6}\cdot\cos\theta_2$

$8=6\sqrt{6}\cos\theta_2$

$\cos\theta_2=\frac{4}{3\sqrt{6}}$

$\theta_2=\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right)\cong 57,021^\circ$

Como a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º, podemos obter o 3º ângulo $\theta_3$ da seguinte forma:

$\theta_1+\theta_2+\theta_3=180^\circ$

$\theta_3=180^\circ-\theta_1-\theta_2$

$\theta_3=180^\circ-\arccos\left(\frac{5}{3\sqrt{7}}\right)-\arccos\left(\frac{4}{3\sqrt{6}}\right)\cong 72,025^\circ$