Question

dados os pontos a(2; 1;1) e b(0; 2; 1) determinar o ponto c do eixo oy de modo que a area do tri^angulo abc seja 1; 5 u.a.? alguém sabe? por favor ;)

Answer 1

Sejam os pontos: A(2; 1; 1), B(0; 2; 1) e C no eixo 0y é C(0; y; 0).
A área do triângulo é dada pelo "módulo do produto vetorial de AB por AC dividido por 2:

$A=\dfrac{|ABXAC|}{2}$

AB = B - A ⇒ (0; 2; 1) - (2; 1; 1) ⇒ AB = (-2;1;0)
AC = C - A ⇒ (0; y; 0) - (2; 1; 1) ⇒ AC = (-2; (y-1); -1)

O produto vetorial pode ser obtido pelo determinante dos vetores:

$ABXAC=\begin{vmatrix} i & j & k\\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & (y-1) & -1 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j\\ -2 & 1\\ -2 & (y-1) \end{matrix}=\\ \\ \\ -i+0-2(y-1)k+2k+0-2j=-i-2j-2yk+2k+2k=\\ \\ -i-2j-2yk+4k=-i-2j+k(-2y+4)=(-1; -2; -2y+4)$


O módulo desse produto vetorial é:

$|ABXAC|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}+(-2y+4)^{2}}=\sqrt{1+4+4y^{2}-16y+16}\\ \\ \\ |ABXAC|=\sqrt{4y^{2}-16y+21}$


Como a área do triângulo é 1,5 u.a., então:

$A=\dfrac{|ABXAC|}{2}=1,5\Rightarrow \dfrac{\sqrt{4y^{2}-16y+21}}{2}=1,5\Rightarrow\\ \\ \\ \sqrt{4y^{2}-16y+21}=3\Rightarrow 4y^{2}-16y+21=9\Rightarrow 4y^{2}-16y+12=0$


Dividindo cada membro da equação por 4, temos:

$y^{2}-4y+3=0\\ \\ \\ y=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\Rightarrow y=\dfrac{4\pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3}}{2\cdot 1}\Rightarrow\\ \\ \\ y=\dfrac{4\pm \sqrt{16-12}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{4\pm 2}{2}\Rightarrow y_{1}=1\ e\ y_{2}=3$


Assim, o ponto C, localizado no eixo y é o ponto C(0; 1; 0) ou C(0; 3; 0).

Answer 2

Resposta: é 1,5

Explicação passo-a-passo: