Question

Dados os pontos A(2,1,1); B(-1,0,1) C(3,2,-2) determine o ponto D do eixo Oz para que o volume do paralelepípedo determinado por AB,AC, e AD seja 25

Answer 1

Um ponto do eixo Oz tem a forma D = (0,0,z), então temos:

u = AB
u = B - A
u = (-3,-1,0)

v = AC
v = C - A
v = (1,1,-3)

w = AD
w = D - A
w = (-2,-1,z-1)

Sabemos que o volume de um paralelepípedo no espaço tridimensional é calculado pelo determinante da matriz gerada pelos 3 vetores. Então temos:

$\left[\begin{array}{ccc}-3&-1&0\\1&1&-3\\-2&-1&z-1\end{array}\right]$

Resolvendo e igualando a 25:

   -2             z - 1
|  -3     -1       0    |
|   1       1      -3   |   ⇒   - 6 - 3z + 3 - (- z + 1 - 9)
|  -2     -1     z - 1 |           - 6 - 3z + 3 + z - 1 + 9
   -3                0                     -2z + 5 = 25
                                             - 2z = 25 - 5
                                               -2z = 20
                                                  z=-10

Portanto o nosso vetor w = (-2,-1,-11) e o nosso ponto D = (0,0,-10).

Poderás encontrar o determinante da matriz gerada pelos vetores u, v e w e chegará no resultado 25, que corresponde ao volume do paralelepípedo determinado por AB, AC e AD.