Question

Dados os pontos A=(1,4), B=(5,2) e C=(x,2x−3), o conjunto solução dos valores de x para os quais o triângulo ABC possui área igual a 50 u.a. é dado por

a. S={12,-8}
b. S={11,-9}
c. S={9,-11}
d. S={13,-7}
e. S={14,-6}

Answer 1

Olá, Boa tarde!

Primeiro de tudo, observa-se que apenas as coordenadas dos vértices do triângulo ABC, além de sua área, são dadas, ou seja, esse triângulo está representado em um plano cartesiano. Sendo assim, para esse tipo de questão, existe uma expressão que calcula a área de uma região triangular em um gráfico apenas com a coordenadas de seus vértices, que é:

$A=\frac{|D|}{2}$

• A área (A) de um triângulo, em um plano cartesiano, é igual ao módulo do determinante(|D|) de seus vértices divido por 2.

Antes de tudo, é necessário organizar os vértices do triângulo ABC em uma matriz quadrada, isto é, uma matriz com mesmo numero de colunas e linhas, como a questão nos traz três vértices então a mesma deve ser de ordem 3x3, como não temos valores para a 3° coluna, obrigatoriamente completamos com o número 1 :

$\left[\begin{array}{ccc}1&4&1\\5&2&1\\x&2x-3&1\end{array}\right]$

Para o cálculo do determinante, vamos subtrair o produto das somas dos elementos da diagonal principal com o da diagonal secundária, mas para isso é preciso repetir os elementos das duas primeiras colunas:

$\left[\begin{array}{ccc}1&4&1\\5&2&1\\x&2x-3&1\end{array}\right] \left\begin{array}{ccc}1&4\\5&2\\x&2x-3\end{array}\right$

Diagonal principal

$[(1.2.1)+(4.1.x)+[1.5.(2x-3)]]\\=[2+4x+5(2x-3)]\\=2+4x+10x-15\\=14x-13$

Diagonal secundária

$[(1.2.x)+[1.1.(2x-3)]+(4.5.1)]\\=[2x+1(2x-3)+20]\\=2x+2x-3+20\\=4x+17$

Determinante

$D=d.principal-d.secundaria\\D=(14x-13)-(4x+17)\\D=14x-13-4x-17\\D=10x-30$

Descobrimos o determinante, agora vamos direto ao que a questão pede que é "o conjunto solução dos valores de x" . Vimos que no inicio da resposta, foi dada uma fórmula que calcula a área do triângulo:

$A=\frac{|D|}{2}$

E até agora temos:

A= 50

D=10x-30

Desse modo só nos resta encontrar o valor de x, jogando o que temos na fórmula:

$A=\frac{|D|}{2}\\50=\frac{|10x-30|}{2}\\ 2.50=|10x-30|\\|10x-30|=100$

Neste caso, nos deparamos com uma equação modular, portanto, é preciso saber que o módulo de um número real sempre representa seu valor absoluto ou o seu tamanho, onde, por exemplo:

|a|=a se a>0 e |a|=-a se a<0

Desse modo, para 10x-30>0, teremos que deixar o número 100 no seu valor positivo:

$10x-30=100\\10x=100+30\\10x=130\\x=\frac{130}{10}\\x=13$

E já para 10x-30<0, teremos que deixar o número 100 no seu valor negativo:

$10x-30=-100\\10x=-100+30\\10x=-70\\x=\frac{-70}{10}\\x=-7$

Logo, o conjunto solução dos valores de x é S={13,-7}.

ALTERNATIVA D.

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