Dados os pontos A = (1, −3) e B = (4, 1). Determine as coordenadas do ponto
C tais que o vetor U= AC é perpendicular ao vetor U= AB || U ||= 10. (Duas soluções)
PRECISO DE ESCLARECIMENTO POR FAVOR!!
Soluções para a tarefa
O ponto C pode ser C = (-7,3) ou C = (9,-9).
Sendo A = (1,-3) e B = (4,1), temos que o vetor v é igual a:
v = (4,1) - (1,-3)
v = (4 - 1, 1 + 3)
v = (3,4).
Vamos considerar que o ponto C é igual a C = (x,y).
Sendo assim, o vetor u é igual a:
u = (x,y) - (1,-3)
u = (x - 1, y + 3).
Queremos que u e v sejam perpendiculares. Isso significa que o produto interno é igual a 0. Logo:
<u,v> = 0
(x - 1).3 + (y + 3).4 = 0
3x - 3 + 4y + 12 = 0
3x + 4y = -9.
Também temos a informação de que a norma do vetor u é igual a 10. Então:
(x - 1)² + (y + 3)² = 10²
x² - 2x + 1 + y² + 6y + 9 = 100
x² + y² - 2x + 6y - 90 = 0.
Da equação 3x + 4y = -9, podemos dizer que:
4y = -9 - 3x
y = (-9 - 3x)/4.
Substituindo o valor de y na equação x² + y² - 2x + 6y - 90 = 0, obtemos a equação do segundo grau x² - 2x - 63 = 0, cujas soluções são x = -7 e x = 9.
Se x = -7, então:
y = (-9 + 21)/4
y = 3.
Assim, C = (-7,3).
Se x = 9, então:
y = (-9 - 27)/4
y = -9.
Assim, C = (9,-9).