Question

dados os pontos A (1,2) e B (3,0), o segmento AB é prolongado, no sentido de A para B, até o ponto C, tal que AC=3AB. A soma das coordenadas do ponto C vale:

Answer 1

Olá Cecília!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{3}}$

Explicação passo-a-passo:

Inicialmente, considere $\boxed{\displaystyle \mathtt{C = \left ( x_C, y_C \right )}}$. Por conseguinte, esboçando o plano cartesiano, tiramos que:

$\displaystyle \mathtt{x_C > 3}$

Pois, o prolongamento está no sentido do ponto A para o ponto B.

Ademais, segundo o enunciado, $\displaystyle \mathtt{C \in \overleftrightarrow{AB}}$. Ou seja, o ponto C pertence à reta que passa pelos pontos A e B.

Determinemos a equação da reta que passa pelos pontos A e B.

$\\ \displaystyle \mathsf{\begin{vmatrix} \mathsf{x} & \mathsf{y} & \mathsf{1} \\ \mathsf{1} & \mathsf{2} & \mathsf{1} \\ \mathsf{3} & \mathsf{0} & \mathsf{1} \end{vmatrix} = 0} \\\\\\ \mathsf{\begin{bmatrix} \mathsf{x} & \mathsf{y} & \mathsf{1} & | & \mathsf{x} & \mathsf{y} \\ \mathsf{1} & \mathsf{2} & \mathsf{1} & | & \mathsf{1} & \mathsf{2} \\ \mathsf{3} & \mathsf{0} & \mathsf{1} & | & \mathsf{3} & \mathsf{0} \end{bmatrix} = 0} \\\\\\ \mathsf{2x + 3y + 0 - 6 - 0 - y = 0} \\\\ \mathsf{2y + 2x - 6 = 0 \qquad \qquad \div(2} \\\\ \boxed{\mathsf{y = - x + 3}}$

Uma vez que o ponto C pertence à reta...

$\boxed{\mathsf{y_C = - x_C + 3}} \qquad \qquad \qquad \qquad \mathsf{(i)}$

O enunciado nos garante que: $\displaystyle \mathtt{\overline{AC} = 3 \cdot \overline{AB}}$. Então,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{AB} = d_{\overline{AB}}} \\\\ \mathsf{\overline{AB} = \sqrt{\left ( x_B - x_A \right )^2 + \left ( y_B - y_A \right )^2}} \\\\ \mathsf{\overline{AB} = \sqrt{\left ( 3 - 1 \right )^2 + \left ( 0 - 2 \right )^2}} \\\\ \mathsf{\overline{AB} = \sqrt{4 + 4}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{AB} = 2\sqrt{2}}}$

Com efeito,

$\\ \displaystyle \mathsf{\overline{AC} = 3 \cdot \overline{AB}} \\\\ \mathsf{\overline{AC} = 3 \cdot 2\sqrt{2}} \\\\ \boxed{\mathsf{\overline{AC} = 6\sqrt{2}}}$

Aplicando o T. de Pitágoras no triângulo retângulo obtido com o vértice C, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{\left ( \overline{BC} \right )^2 = \left ( x_C - 3 \right )^2 + \left ( y_C \right )^2} \\\\ \mathsf{\left ( 6\sqrt{2} \right )^2 = \left ( x_C - 3 \right )^2 + \left ( y_C \right )^2} \\\\ \boxed{\mathsf{\left(x_C-3 \right )^2 + \left ( y_C \right )^2 = 72}} \qquad \qquad \qquad \qquad \mathsf{(ii)}$

Por fim, resolvemos o sistema formado por (i) e (ii). Segue,

$\displaystyle \begin{cases} \mathtt{y_C = - x_C + 3} \\ \mathtt{(x_C - 3)^2 + (y_C)^2 = 72} \end{cases}$

Subsituindo (i) em (ii),

$\\ \displaystyle \mathsf{(x_C - 3)^2 + (- x_C + 3)^2 = 72} \\\\ \mathsf{(x_C - 3)^2 + \left [ - (x_C - 3) \right ]^2 = 72} \\\\ \mathsf{(x_C - 3)^2 + (x_C - 3)^2 = 72} \\\\ \mathsf{2 \cdot (x_C - 3)^2 = 72} \\\\ \mathsf{(x_C - 3)^2 = 36} \\\\ \mathsf{x_C - 3 = \pm 6} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{x_C = 9}}} \\ \boxed{\mathsf{x_C = - 3}}$

Vale lembre que, lá no início da resolução vimos que $\displaystyle \mathtt{x_C > 3}$. Portanto, $\displaystyle \boxed{\boxed{\mathtt{x_C = 9}}}$.

No mais, determinamos a ordenada $\displaystyle \mathtt{y_C}$.

$\\ \displaystyle \mathsf{y_C = - x_C + 3} \\\\ \mathsf{y_C = - 9 + 3} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{y_C = - 6}}}$

Isto posto, concluímos que:

$\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{C = \left ( 9, - 6 \right )}}}}$

Espero ter ajudado!!

Bons estudos!