Question

Dados os pontos A (1, -2, 3), B (2, -1, -4), C (0, 2, 0) e D (-1, m, 1). Determine o valor de m paraque seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ e⃗⃗⃗⃗⃗ .

Answer 1

Com os pontos podemos definir 03 vetores com mesma origem;
vetor AB = B-A = (1, 1, -7)
vetor AC = C-A = (-1, 4, -3)
vetor AD = D-A = (-2, m+2, -2)

O volume do paralelepípedo determinado pelos vetores será o módulo do produto misto entre os vetores.

V = |[AB, AC, AD]|
20 = |[AB, AC, AD]|

Sabendo que o produto misto é calculado pelo determinante de uma matriz 3x3 cujos termos são os componentes dos vetores, chamando essa matriz de A temos que:

20 = |det (A)|
20 = |(1.4.(-2)) + (1.(-3).(-2)) + (-7.(-1).(m+2)) - (-7.4.(-2)) - (1.(-3).(m+2)) - (1.(-1).(-2))|
20= |10m - 40|

agora há dois casos possíveis,
se 10m - 40 >= 0,
m >= 4,
20 = 10m - 40
10m = 60
m = 6

se 10m - 40 < 0,
m < 4
20 = -10m + 40
10m = 20
m = 2

portanto, para que o volume do paralelepípedo seja 20, m deve ser igual a 6 ou 2.