Question

Dados os pontos A(-1,-1), B(5, -7) e C(x,2), determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A
e B.

a) 8
b) 6
c) 15
d) 12
e) 7

Answer 1

Resposta:

Alternativa (a).

Explicação passo a passo:

$\begin{array}{ccccccccccc}&&y&&&&&&&&\\&&|&&&&&&&&\\&\_&|&\_&\_&\_&_{C(x, 2)}&\_&&&\\&&|&&&&.&&&&\\<-&-&-&-&-&-&-&-&->x&&\\&_{A(-1, -1)}&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&.&.&.&.&_{B(5, -7)}&&&\\&&|&&&&&&&&\end{array}$

Dado o plano cartesiano e sabendo que a distância entre $C$ e $A$ ($CA$) é igual a distância entre $C$ e $B$ ($CB$), temos que $d_{CA} = d_{CB}$ $(I)$, onde $d$ é distância.

Para calcular a distância entre dois pontos utilizamos a seguinte fórmula

$d_{AB} = \sqrt{(x_{B} - x_{A})\² + (y_{B} - y_{A})\²}$

Porém, temos que $(I)$, logo

$d_{CA} = d_{CB}\\\sqrt{(x_{C} - x_{A})\² + (y_{C} - y_{A})\²} = \sqrt{(x_{B} - x_{C})\² + (y_{B} - y_{C})\²}$

Como o conteúdo da raiz é o mesmo, podemos "descartá-las" e fazer as substituições. Com isso, temos

$(x_{C} - x_{A})\² + (y_{C} - y_{A})\² = (x_{B} - x_{C})\² + (y_{B} - y_{C})\²\\(x - (-1))\² + (2 - (-1))\² = (5 - x)\² + (-7 - 2)\²\\(x + 1)\² + (2 + 1)\² = (5 - x)(5 - x) + (-9)\²\\(x + 1)(x + 1) + 3\² = 5.5 - 5x - 5x + x\² + 81\\x\² + 1x + 1x + 1\² + 9 = 25 - 10x + x\² + 81\\x\² + 2x + 1 + 9 = 25 + 81 - 10x + x\²\\x\² + 2x + 10 = 106 - 10x + x\²\\x\² + 2x + 10x - x\²= 106 - 10\\x\² - x\² + 2x + 10x = 96\\0 + 12x = 96\\12x = 96\\x = \frac{96}{12}\\x = 8$

Portanto, o plano cartesiano ficou da seguinte forma:

$\begin{array}{cccccccccccc}&&y&&&&&&&&\\&&|&&&&&&&&\\&\_&|&\_&\_&\_&\_&\_&\_&\_&_{C(8, 2)&}\\&&|&&&&&&&&.\\<-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&-&->x\\&_{A(-1, -1)}&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&&&&&.&&&\\&&|&.&.&.&.&_{B(5, -7)}&&&\\&&|&&&&&&&&\end{array}$