Question

Dados os pontos A=(0,1,8) e B=(-3,0,9) e a reta r:X=(1,2,0) +K(1,1,-3).Determine o ponto C de r tal que A,B,C sejam vértices de um triangulo retângulo no vértice C.

Answer 1

Ok, entao a gente tem que A-C e B-C sao vetores perpendiculares. Entao seu produto escalar deve ser 0:

$\left[\begin{array}{c}0-x&1-y&8-z\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}-3-x&0-y&9-z\end{array}\right]=0\\\\\\x^2+y^2+z^2+3x-y-17z+72=0$

Temos na parametrica dada que:

x=1+k
y=2+k
z=-3k

Substituimos:

$(1+k)^2+(2+k)^2+(-3k)^2+3(1+k)-(2+k)-17(-3k)+72=0\\\\1+2k+k^2+4+4k+k^2+9k^2+3+3k-2-k+51k+72=0\\\\11k^2+59k+78=0\\\\k=-3\ ou\ k=-\dfrac{26}{11}$

Agora temos dois pontos possiveis para C:

(-2,-1,9) ou (-15/11, -4/11, 78/11)