Question

dados os planos de equação geral: a= 2x - 3y +4 -1=0 e b= 3x -2y -3z +2=0. Determine o angulo Θ formado por eles.

Answer 1

Boa noite.

O primeiro passo é determinar os vetores normais a cada um desses planos.

Para um plano da forma: $Ax+By+Cz+D=0$ , seu vetor normal $\vec{a}$ é dado por: $\vec{a}=A\vec{i}+B\vec{j}+C\vec{k}$

Então, para os planos $\alpha$ e $\beta$ , temos os vetores a e b:

$\vec{a}=2\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\\\vec{b}=3\vec{i}-2\vec{j}-3\vec{k}$

O ângulo entre dois planos é definido de seguinte modo: seu cosseno tem o mesmo valor do módulo do cosseno entre os dois vetores normais.

$cos(\alpha,\beta) = |cos(\vec{a},\vec{b})|$

Calculamos o cosseno desses vetores pela conhecida fórmula:

$cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{||\vec{a}|| ~||\vec{b}||}=\dfrac{(2)(3)+(-3)(-2)+(4)(-3)}{\sqrt{2^2+(-3)^2+4^2}\sqrt{3^2+(-2)^2+(-3)^2}}\\ \\ \\ cos(\vec{a},\vec{b})=\dfrac{0}{\sqrt{29}\sqrt{22}}=0$

Ou seja, os vetores a e b são perpendiculares entre si. Por definição, $cos( \alpha , \beta )=|cos(\vec{a},\vec{b})|=|0|=0$. Assim, o ângulo entre os planos é de $\dfrac{\pi}{2}$