Question

Dados os planos a = 2x+y–z–10 = 0 e b =-x +y + 2z + 55 = 0, marque a alternativa que apresenta o valor correto para o ângulo entre a e b

A=30°
B=45°
C=60°
D=90°

Answer 1

A alternativa que apresenta o valor correto para o ângulo entre α e β é a alternativa c).

Para calcularmos o ângulo entre dois planos, precisamos calcular o ângulo entre os vetores normais.

O vetor normal do plano α: 2x + y - z - 10 = 0 é u = (2,1,-1).

O vetor normal do plano β: -x + y + 2z + 55 = 0 é v = (-1,1,2).

O ângulo entre os vetores u e v é definido por: $cos(u,v)=\frac{|<u,v>|}{||u||||v||}$.

Calculando o produto interno entre u e v, obtemos:

<u,v> = 2.(-1) + 1.1 + (-1).2

<u,v> = -2 + 1 - 2

<u,v> = -3.

Calculando as normas dos vetores, obtemos:

||u||² = 2² + 1² + (-1)²

||u||² = 4 + 1 + 1

||u||² = 6

||u|| = √6

e

||v||² = (-1)² + 1² + 2²

||v||² = 1 + 1 + 4

||v||² = 6

||v|| = √6.

Assim:

$cos(u,v)=\frac{|-3|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}$

cos(u,v) = 3/6

cos(u,v) = 1/2

Portanto, o arco cujo cosseno é 1/2 é 60º.