Question

Dados os números complexos z1 = 4 - 3i e z2 = 1 - 2i, determine o conjugado do quociente z2/z1.

a)2/5 - i/5
b)10/15 - 5i/15
c)10/15 + 5i/15
d)2/5 + i/5

Answer 1

O conjugado do quociente z2/z1 é 2/5 + i/5, alternativa D.

Números complexos

Números complexos abrangem números que podem ser escritos na forma algébrica z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária ou na forma trigonométrica z = ρ·(cos θ + i·sen θ), onde ρ é o módulo e θ é o argumento.

Para transformar a forma algébrica na forma trigonométrica e vice-versa, temos:

• p = √a² + b²
• cos θ = a/p
• sen θ = b/p

Para efetuar a divisão, os números devem estar na forma trigonométrica:

p1 = √4² + (-3)²

p1 = √25

p1 = 5

cos θ1 = 4/5

sen θ1 = -3/5

θ1 = 323,13°

z1 = 5·(cos 323,13° + i·sen 323,13°)

p2 = √1² + (-2)²

p2 = √5

cos θ2 = 1/√5 = √5/5

sen θ2 = -2√5 = -2√5/5

θ2 = 296,56°

z2 = √5·(cos 296,56° + i·sen 296,56°)

Dividindo os números, teremos:

z2/z1 = (√5/5)·(cos 296,56° - 323,13° + i·sen 296,56° - 323,13°)

z2/z1 = (√5/5)·(cos -26,57° + i·sen -26,57°)

Transformando para a forma algébrica novamente:

cos -26,57° = a/(√5/5)

a = 0,4 = 2/5

sen -26,57° = b/(√5/5)

b = -0,2 = -1/5

Portanto, teremos:

z2/z1 = 2/5 - i/5

O conjugado será dado por:

z2/z1~ = 2/5 + i/5

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