Question

Dados os números complexos z = (cos 5π/6 + i. sen 5π/6) e w = 3 (cos π/4 + i. sen π/4), calcule zw, z², z/w e w/z.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

A forma trigonométrica dos números complexos tem propriedades muito úteis quando desejamos realizar multiplicações ou divisões.

Basicamente, multiplicamos ou dividimos normalmente a parte que está fora dos senos e cossenos e depois, se for multiplicação, somamos os ângulos dentro dos senos e cossenos, e se for divisão fazemos a subtração entre eles.

Logo:

$z \cdot w = 1 \cdot 3 \left(\cos\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left( \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4}\right)\right) = 3 \left(\cos\left(\frac{13\pi}{12}\right) + i\sin\left( \frac{13\pi}{12}\right)\right)$

$z^2 = z \cdot z = 1 \cdot 1 \left(\cos\left(\frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right) + i\sin\left( \frac{5\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}\right)\right) = \left(\cos\left(\frac{5\pi}{3}\right) + i\sin\left( \frac{5\pi}{3}\right)\right)$

$\frac{z}{w} = \frac{1}{3} \left(\cos\left(\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left( \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4}\right)\right) = \frac{1}{3} \left(\cos\left(\frac{7\pi}{12}\right) + i\sin\left( \frac{7\pi}{12}\right)\right)$

E eu deixo o último pra você =)