Question

Dados os números complexos z=-5-2i e w=12+16i, determine z/w.

Answer 1

Após os cálculos realizados e analisado concluímos que:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{Z}{w} = -\: \dfrac{23}{100} +\dfrac{7i}{50} } }$

Um número complexo pode ser de várias formas. Uma delas é  $\boldsymbol{ \textstyle \sf z = a + bi }$, a e b são números reais e i é a unidade imaginária. Número $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$ parte real de $\boldsymbol{ \textstyle \sf z }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf a }$ parte imaginária.

Dado um número complexo $\boldsymbol{ \textstyle \sf z = a + bi }$, conjugado de z o número complexo $\boldsymbol{ \textstyle \sf \bar{z} = a -\: bi }$, que indicamos por $\boldsymbol{ \textstyle \sf \bar{ z} = \overline{a+bi} = a-\: bi }$.

$\large \text {\sf O quociente \sf \dfrac{z_1}{z_2} entr dois n{\'u}meros complexo, com \sf z_2 \neq 0 , {\'e} dado por: }$

$\large \boxed{\displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{ z_1 \cdot \overline{ \sf z_2}}{ z_2 \cdot \overline{ \sf z_2} } } } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases}\sf z = -\: 5 -\; 2i \\ \\ \sf w = 12 + 16i \\ \\ \sf \overline{\sf w} = 16-16i \\ \\\sf \dfrac{z}{w} = \:? \end{cases} } }$

Aplicando a propriedade do quociente, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{ z \cdot \overline{ \sf w}}{ w \cdot \overline{ \sf w} } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{ ( -\;5 -\:2i) \cdot ( 12 - 16 i)}{(12+16i) \cdot (12-\:16i)} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{-\:60 +\:80i -\:24i -\:32i^2}{ (12)^2 + (16i)^2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{-\:60 +56i +32 \cdot (-1)}{ 144 - [256 \cdot (-1) ]} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{-\:60 +56i - 32 }{ 144 + 256 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{-\:92 +56i }{ 400 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{z}{w} = \dfrac{ \backslash\!\!\!{4 }\cdot (-\:23 + 14i) }{ \backslash\!\!\!{4} \cdot 100 } } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{Z}{w} = \dfrac{-\:23+14i}{100} } }$

$\Large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf \dfrac{Z}{w} = -\: \dfrac{23}{100} + \dfrac{7i}{50} }}$

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