Question

Dados os conjuntos: A = {x∈R / 1 ≤ x < 10}, B = {x∈R / (x+1)(x-6) < 0} e C = {z∈R / z² = 6z}. A alternativa que indica o conjunto A ∩ (C ∪ B) é:

Answer 1

Resposta:

A ∩ (C ∪ B) = {6}

Explicação passo-a-passo:

Conceitos importantes

União (∪) → A união entre dois ou mais conjuntos ocorre quando reunimos todos os elementos de cada conjunto em um único, que será o conjunto união.

Interseção (∩) → A interseção entre dois ou mais conjuntos são os elementos comuns a todos esses conjuntos.

Problema

Primeiro, faremos a união de C e B, para depois interceder essa união com A.

C ∪ B

Primeiro, precisamos resolver as equações dos conjuntos, para descobrir como unir seus elementos

• C = {z ∈ R | z² = 6z}

Vamos resolver a equação do final, ok?

z² - 6z = 0

Temos uma equação incompleta do segundo grau. As raízes de uma equação incompleta do segundo grau com c = 0 serão sempre dadas por:

z' = 0

z" = -b/a

Na nossa equação, temos:

a = 1

b = -6

z" = -(-6)/1

z" = 6

Podemos reescrever nosso conjunto como:

C = {z ∈ R | z = 0 ou z = 6}

• B = { x ∈ R | (x + 1) (x + 6) < 0}

Como fizemos para C, vamos resolver:

(x + 1) (x + 6) < 0

Aplicando a distributiva:

x² + 6x + x + 6 < 0

x² + 7x + 6 < 0

Temos que:

a = 1

b = 7

c = 6

∆ = b² - 4ac

∆ = 7² - 4 × 1 × 6

∆ = 49 - 24

∆ = 25

x = (-b ± √∆) / 2a

x = (-7 ± √25)/ (2 × 1)

x = (-7 ± 5)/2

x' = (-7+5)/2

x' = (-2)/2

x' = -1

x" = (-7-5)/2

x" = (-12)/2

x" = -6

Logo, -6 < x < -1

Podemos reescrever nosso conjunto como:

B = {x ∈ R | -6 < x < -1}

Agora, podemos finalmente fazer a união:

tendo os conjuntos:

C = {z ∈ R | z = 0 ou z = 6}

B = {x ∈ R | -6 < x < -1}

Para facilitar, vamos escrever os elementos de C e B:

C = {0, 6}

B = {-5, -4, -3, -2}

C ∪ B = {-5, -4, -3, -2, 0, 6}

A ∩ (C ∪ B)

Temos que:

A = {x ∈ R | 1 ≤ x < 10}

Escrevemos os elementos de A:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Escrevendo C ∪ B:

C ∪ B = {-5, -4, -3, -2, 0, 6}

Note que o único elemento em comum entre os 2 conjuntos é o 6.

A ∩ (C ∪ B) = {6}

Observações

Se tiver dúvidas, chame nos comentários. Para responder essa questão, o estudante precisa ter conhecimento de:

• conjuntos
• inequações do segundo grau
• propriedade distributiva da multiplicação