Matemática, perguntado por calksegundo, 8 meses atrás

Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1} e B= { -3, -2,-1,0, 1,2, 3.4}, determine o

conjunto imagem da f: A---> B definida por f(x) = x + 2.

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

Neste exercício, o conjunto imagem da função f(x) = x + 2 é Im(f) = {0, 1, 2, 3}.

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Dada a função f : A ➞ B definida por f(x) = x + 2, onde A = {– 2, – 1, 0, 1} e B = {– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4}, queremos determinar o conjunto imagem. Mas antes, acompanhe minha explicação para você entender do que se trata esses conjuntos e suas relações.

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→ Começando com o conjunto A, é o que chamamos de domínio D(f), sendo constituído por todos os possíveis valores que a variável real (tratando-se de funções reais) e independente ‘‘x’’ pode assumir. Digamos que o domínio contém elementos que nós usamos na função. Note que, o domínio real de f(x) = x + 2 abrange todos os números reais, isto é, D(f) = ℝ. Contudo, a questão o restringiu para somente quatro elementos. Portanto, o conjunto domínio de desta função é dado por:

$\large\quad\ \boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf D(f)=\big\{\!\!-2,\,-\,1,~0,~1\big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

→ Agora sobre o conjunto B, é o que chamamos de contradomínio CD(f), sendo constituído por elementos que podem, ou não, estar associados a elementos de D(f). Digamos que o contradomínio contém elementos que estão à nossa disposição. Portanto, o conjunto contradomínio desta função é dado por:

$\\\large\boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf CD(f)=\big\{\!\!-3,\,-\,2,\,-\,1,~0,~1,~2,~3,~4\big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

→ Por fim, chegou a hora de de falar sobre a imagem Im(f). A imagem é um conjunto constituído por elementos de CD(f) que se associam a elementos de D(f), sendo, portanto, um subconjunto de CD(f) (Im(f) ⊆ CD(f)). Digamos que a imagem contém elementos ‘‘y’’ que nós obtemos, sendo dependentes do valor da variável real e independente ‘‘x’’.

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Dessa forma, para determinar a Im(f) basta usarmos os elementos dispostos do conjunto domínio, substituindo-os pelo ‘‘x’’ da função:

$\\\large\begin{array}{l}\begin{cases}\sf f(-2)=-\,2+2=0,~\therefore~~0~\acute{e}~a~imagem~de\,-2\\\sf f(-1)=-\,1+2=1,~\therefore~~1~\acute{e}~a~imagem~de\,-1\\\sf f(~0~)=0+2=2,~~~\,~\therefore~~2~\acute{e}~a~imagem~de~0\\\sf f(~1~)=1+2=3,~~~~\,\therefore~~3~\acute{e}~a~imagem~de~1\end{cases}\end{array}\\\\$

Note que, de todos os elementos à nossa disposição em CD(f), somente quatro deles participam efetivamente da relação com D(f), então esse é o conjunto imagem de f:

$\large\qquad \ \boldsymbol{\boxed{\boxed{\begin{array}{l}\\\sf Im(f)=\big\{0,~1,~2,~3\big\}\\\\\end{array}}}}\\\\$

$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$