Question

Dados os conjuntos
A = { 1, 2, 3, 4 } e
B = { 3, 4, 5, 6, 7}.
quantos são os elementos do conjunto B - A? 
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4



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Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Observe os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4} Formando o conjunto de todos os pares (x;y) ½ x Î A e y Î B, temos: {(1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;3), (3;4)}. A esse conjunto chamamos de produto cartesiano de A por B e indica-se A × B. Não esqueça que (2;3) ¹ (3;2).

Representando A × B no plano cartesiano.

A x B

 

Dados os conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A por B, e indica-se A × B, ao conjunto formado por todos os pares ordenados (x;y) ½ x Î A e y Î B: A × B = {(x;y) x ÎA e y Î B}

Da mesma maneira que determinamos A x B, podemos determinar B x A.

B x A = {(3; 1), (3; 2), (3; 3), (4; 1), (4; 2), (4; 3)}

Representando no plano cartesiano, temos:

B x A

Você pode observar que em geral A x B ¹ B x A.

Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de A × B.

Em relação aos conjuntos:

A = {1, 2, 3}

B = {3, 4} e sendo as relações:

R1 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 1}, Temos que:

R1= {(2; 3), (3; 4)}

R2 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 2}, Temos que:

R2 = {(1; 3), (2; 4)}

Observe que R1 e R2 são subconjuntos de A x B.

R3 = {(x, y) Î B x A ½ y = x – 1}

R3 = {(3; 2), (4; 3)}

R4 = {(x, y) Î A x B ½ x < y}

R4 = {(1; 3), (2; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 4)}

Podemos mostrar as relações R1, R2, R3 e R4 por diagramas de flechas, representando cada par ordenado por uma flecha, com cada flecha partindo do primeiro elemento do par ordenado e chegando ao segundo.

R1 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 1}, temos que

R1 = {(2; 3), (3; 4)}

R2 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 2}, temos que

R2 = {(1; 3), (2; 4)}

R3 = {(x, y) Î B x A ½ y = x – 1}, temos que

R3 = {(3; 2), (4; 3)}

R4 = {(x, y) Î A x B ½ x < y}, temos que

R4 = {(1; 3), (2; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 4)}

Sejam os conjuntos:

A = {3, 4, 5} e B = {5, 6, 7, 8} e as relações

R5 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 2}, temos que

R5 = {(3; 5), (4; 6), (5; 7)}

Observe que R1 associa cada elemento x Î A com um único elemento y Î B.

R6 = {(x, y) Î A X B ½ y = x + 1}, temos que

R6 = {(4; 5), (5; 6)}

Observe que, em R2, 3 Î A não possui correspondente em B, pois 4 Ï B.

Qual das relações R5 ou R6 representa uma função? Qual é o domínio da função? E o contradomínio? E a imagem?

Representando R5 e R6 por diagramas de flechas, temos:

 

Dizemos que uma relação é uma função (f) de A em B (f:A ® B) se e somente se associa cada x Î A com um único y Î B, ou seja, para todo x ÎA, existe um único correspondente y Î B.

Observe que R5 é função de A em B, pois associa cada x Î A com um único y Î B, e R6 não é função de A em B, pois 3 Î A não possui correspondente em B.

Indicamos a função das seguintes formas:

f: {3, 4, 5} ® {5, 6, 7, 8} ½ y = x + 2  ou  f: {(x, y) Î {3, 4, 5} x {5, 6, 7, 8} ½ y = x + 2}

Dizemos que a imagem de 3 pela função f é 5 e indicamos f(3) = 5.

Do mesmo modo, a imagem de 4 pela função f é 6 e indicamos f(4) = 6.

E a imagem de 5 pela função f é 7 e indicamos f(5) = 7.

A imagem de x pela função f é o número y, ou seja, y é o valor de f em x e indicamos y = f(x).

No diagrama de flechas da função:

f:A ® B ½ f(x) = x + 2, com A = {3, 4, 5} e B = {5, 6, 7, 8}

O conjunto A é denominado domínio da função f e é indicado por D(f); assim: D(f) = {3, 4, 5}. O conjunto B é denominado contradomínio da função f e é indicado por CD(f).

O conjunto {5, 6, 7} Ì B é denominado conjunto-imagem da função f e é indicado por  Im(f) = {5, 6, 7}.

Sendo f:A ® B uma função, o conjunto A é chamado domínio de f, D(f), o conjunto B é chamado contradomínio de f, CD(f), e o conjunto de todos os elementos y Î B para os quais existe, pelo menos, um elemento x Î A ½ f(x) = y é chamado conjunto imagem de f, Im(f).

Observando os diagramas de flechas das relações e o conceito de função.

R6 = {(x, y) Î A x B ½ y = x + 1}

R7 = {(x, y) Î A x B ½ x < y}

R6 não é função de A em B, pois 3 Î A não possui correspondente em B.

R7 também não é função de A em B, pois 1 ∈ A possui dois correspondentes em B, e 2 Î A também possui dois correspondentes em B.

Num diagrama de flechas, uma relação R é função de A em B se de cada elemento x Î A parte uma única flecha.

Observe os diagramas cartesianos.

Num diagrama cartesiano, f é função definida de A em  se, e somente se, toda reta paralela ao eixo das ordenadas que passa por um ponto de abscissa x Î A intercepta o gráfico de f em um único ponto.

Observe o gráfico cartesiano de uma função.