Question

Dados os complexos z=ab-3i e v=6+ai, a ∈ N, b ∈ R, calcule os valores de a e de b para os quais tem-se z.v=11-17i e determine o valor da expressão 2a/3+9b.

Answer 1

Resposta:

a = 3

b = 1/9

Expressão = 3

Explicação passo-a-passo:

z = ab - 3i  e  v = 6 + ai

z . v = 11 - 17i (vamos substituir z e v por seus valores e multiplicar)

(ab - 3i)(6 + ai) = 11 - 17i

6ab + a²bi - 18i - 3ai² = 11 - 17i  (lembrando que i² = -1)

6ab + a²bi - 18i - 3a.(-1) = 11 - 17i

6ab + a²bi - 18i + 3a = 11 - 17i

(6ab + 3a) + (a²b - 18)i = 11 - 17i

Vamos fazer agora duas igualdades:

Parte real ------------> 6ab + 3a = 11

Parte imaginária --> a²b - 18 =  - 17

Vamos isolar b nesta segunda equação

a²b - 18 = - 17

a²b = 1

b = 1/a² --> vamos substituir o valor de b na primeira equação:

6ab + 3a = 11

6a. 1/a² + 3a = 11

6/a + 3a = 11  (multiplicando por a e simplificando)

6 + 3a² = 11a

3a² - 11a + 6 = 0 resolvendo a equação de 2º grau.

Δ = 121 - 72 = 49 e √49 = 7

a' = (11-7)/6 = 4/6 = 2/3

a'' = (11+7)/6 = 18/6 = 3

Como a ∈ N, fica descartado o valor 2/3, então a = 3

Sabemos que b = 1/a² (calculo acima), então

b = 1/3³ ou b = 1/9

Agora vamos calcular o valor da expressão.

2a/3 + 9b =

2 . 3 / 3 + 9 . 1/9 =

6/3 + 9/9 =

2 + 1 =

3

Answer 2

Inicialmente, substituímos os termos $z$ e $v$ na equação com seus valores, conforme descrito no problema, e efetuamos a multiplicação aplicando a propriedade distributiva:

$z\cdot v=11-17i\\\\(ab-3i)\cdot(6+ai)=11-17i \\\\6ab+a^2bi-18i-3ai^2=11-17i$

Sabe-se que $i^2=-1$, então, substituímos

$6ab+a^2bi-18i-3a(-1)=11-17i\\6ab+a^2bi-18i+3a=11-17i$

Agora,  como em todo número complexo, organizamos as partes reais e as imaginárias. Então, temos o seguinte:

$6ab+3a+a^2bi-18i=11-17i\\6ab+3a+(a^2b-18)i=11-17i$

Agora, fazemos a igualdade com o que é real, e a igualdade com o que é imaginário.

Parte real

$6ab+3a=11$

Parte imaginária

$(a^2b-18)i=-17i$

Vamos desenvolver a parte imaginária primeiramente. Por analogia, temos,

$(a^2b-18) \raggedright{i}=-17 \raggedright{i} \\a^2b-18=-17\\a^2b=-17+18\\a^2b=1\\b=\dfrac{1}{a^2}$

Agora, substituímos na parte real,

$6ab+3a=11\\6a\cdot\left(\dfrac{1}{a^2}\right)+3a=11\\\dfrac{6a}{a^2}+3a=11\\\dfrac{6}{a}+3a=11\\\dfrac{6a}{a}+3a\cdot\dfrac{a}{a}=11\\\dfrac{6a}{a}+\dfrac{3a^2}{a}=11\\\dfrac{6a+3a^2}{a}=11\\6a+3a^2=11a\\3a^2-11a+6a=0$

Usando Bhaskara,

$a=\dfrac{-(-11)\pm\sqrt{(-11)^2-4\cdot(3)\cdot(6)}}{2\cdot3}\\a=\dfrac{11\pm\sqrt{121-72}}{6}\\a=\dfrac{11\pm\sqrt{49}}{6}\\a^\prime=\dfrac{11+7}{6}=\dfrac{18}{6}=3\\a^{\prime\prime}=\dfrac{11-7}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

Como $a$ ∈ $N$, então descartamos o valor fracionário, pois este pertence ao conjunto $Q$ . Logo $a=3$.

Se $a=3$, então

$b=\dfrac{1}{a^2}=\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{1}{9}$

Resposta

$a=3$

$b=\dfrac{1}{9}$

Agora vamos encontrar o valor da expressão dada. Eu não compreendi se era $\dfrac{2a}{3}+9b$ ou  $\dfrac{2a}{3+9b}$, de qualquer forma aí você verifica qual é o formato correto:

$\dfrac{2a}{3}+9b=\\\\\dfrac{2\cdot(3)}{3}+9 \cdot\left(\dfrac{1}{9}\right)=\\\\\dfrac{6}{3}+\dfrac{9}{9}=\\\\2+1=3$

No caso de ser a outra,

$\dfrac{2a}{3+9b}=\\\\\\\dfrac{2\cdot(3)}{3+9\left(\dfrac{1}{9}\right)}=\\\dfrac{6}{3+\dfrac{9}{9}} =\\\\\\\dfrac{6}{3+1} = \\\\\\\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$