Question

Dados os complexos Z = -4 +7i e W = 1 + 2i determine:

a) z + w

b) z . w

c)z ÷ w​

Answer 1

a) A soma de números complexos é feita somando-se parte Real com parte Real e Parte Imaginaria com parte Imaginaria, logo:

$Z+W~=~(-4+7i)~+~(1+2i)\\\\\\Z+W~=~(-4+1)~+~(7i+2i)\\\\\\\boxed{Z+W~=~-3+9i}$

b) Para a multiplicação, vamos utilizar a propriedade distributiva da multiplicação com posterior simplificação e organização dos fatores.

Lembrar: i² = -1

$Z~.~W~=~(-4+7i)~.~(1+2i)\\\\\\Z~.~W~=~-4~.~1~+~(-4)~.~2i~+~7i~.~1~+~7i~.~2i\\\\\\Z~.~W~=~-4~-~8i~+~7i~+~14i^2\\\\\\Z~.~W~=~-4~-~1i~+~14\,.\,(-1)\\\\\\Z~.~W~=~-4~-~1i~-~14\\\\\\\boxed{Z~.~W~=~-18~-~i}$

c) Na divisão faremos algo semelhante `a racionalização de frações, vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do divisor, no caso W.

$\dfrac{Z}{W}~=~\dfrac{Z}{W}~.~\dfrac{\overline{W}}{\overline{W}}\\\\\\\\\dfrac{Z}{W}~=~\dfrac{-4+7i}{1+2i}~.~\dfrac{\overline{1+2i}}{\overline{1+2i}}\\\\\\\\\dfrac{Z}{W}~=~\dfrac{-4+7i}{1+2i}~.~\dfrac{1-2i}{1-2i}$

$\dfrac{Z}{W}~=~\dfrac{-4~.~1~+~(-4)~.~(-2i)~+~7i~.~1~+~7i~.~(-2i)}{1~.~1~+~1~.~(-2i)~+~2i~.~1~+~2i~.~(-2i)}\\\\\\\\\dfrac{Z}{W}~=~\dfrac{-4~+~8i~+~7i~-~14i^2}{1~-~2i~+~2i~-~4i^2}$

$\dfrac{Z}{W}~=~\dfrac{10~+~15i}{5}\\\\\\\\\boxed{\dfrac{Z}{W}~=~2~+~3i}$