Question

dados o ponto p (3,5) e a reta r cuja equacao geral é x+2y-2=0, determine as coordenadas da projecao ortogonal de p sobre r

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Laisamaral, que a resolução é simples.
Pede-se as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P(3; 5) sobre a reta "r" cuja equação é esta: x + 2y - 2 = 0

Agora vamos tentar resolver tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se temos uma reta "r", cuja equação é esta: x + 2y - 2 = 0 e queremos saber qual é a projeção ortogonal do ponto P(3; 5) sobre a reta "r", então a reta que vai passar nesse ponto P(3; 5) será perpendicular à reta "r".

ii) Note que: quando duas retas são perpendiculares o produto entre os seus coeficientes angulares (m₁*m₂) deverá ser igual a "-1".
Então vamos, primeiro, calcular o coeficiente angular (m₁) da reta "r". Para isso, deveremos isolar "y" na equação dada que é esta:

x + 2y - 2 = 0 ----- vamos isolar "y", ficando:
2y = - x + 2 --- isolando "y", teremos;
y = (-x+2)/2 ----- dividindo cada fator por "2", teremos;
y = - x/2 + 2/2
y = - x/2 + 1

Assim, como você está vendo aí em cima, o coeficiente angular da reta "r" é igual a "-1/2 (é o coeficiente de "x" após havermos isolado "y").

iii) Como já sabemos que m₁ = - 1/2 , então vamos multiplicá-lo pelo coeficiente angular (m₂) da reta que é perpendicular a ela e igualar esse produto a "-1". Assim:

m₁*m₂ = - 1 ---- substituindo-se "m₁" por "-1/2", teremos:
(-1/2)*m₂ = - 1 --- ou, o que é a mesma coisa;
m₂*(-1/2) = - 1 --- ou ainda, que também é a mesma coisa:
-m₂/2 = - 1 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos;
m₂/2 = 1 ---- agora multiplicamos em cruz, ficando:
m₂ = 2*1
m₂ = 2 <--- Este será o coeficiente angular da reta que é perpendicular à reta "r".

iv) Agora veja: quando já se conhece o coeficiente angular (m) de uma reta e apenas um ponto por onde ela passa (x₀; y₀), então a sua equação será encontrada da seguinte forma:

y - y₀ = m*(x-x₀)

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação da reta que tem coeficiente angular igual a "2" (m = 2) e que passa no ponto P(3; 5) será encontrada da seguinte forma;

y - 5 = 2*(x - 3) efetuando o produto indicado no 2º membro, temos:
y - 5 = 2x - 6 ---- passando todo o 1º membro para o 2º, teremos:
0 = 2x - 6 - y + 5 ---- reduzindo os termos semelhantes e ordenando, teremos:
0 = 2x - y - 1 --- vamos apenas inverter, ficando:
2x - y - 1 = 0 <--- Esta é a equação da reta que passa no ponto P(3; 5) e é perpendicular à reta "r" de equação: x + 2y - 2 = 0

v) Agora é só encontrarmos os valores de "x" e de "y", considerando o sistema formado pelas retas "r" e a reta que lhe é perpendicular. Então teremos o seguinte sistema:

x + 2y - 2 = 0 ---- passando "-2" para o 2º membro, temos:
x + 2y = 2         . (I)
e     
2x - y - 1 = 0 ---- passando "-1" para o 2º membro, temos:
2x - y = 1           . (II)

Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (II) por "2" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (I).
Assim:

x + 2y = 2 ----- [esta é a expressão (I) normal]
4x - 2y = 2 ---- [esta é a expressão (II) multiplicada por "2"]
----------------- somando membro a membro, teremos:
5x + 0 = 4 --- ou apenas:
5x = 4
x = 4/5 <--- Esta é a abscissa do ponto de encontro das duas retas.

Para encontrar o valor da ordenada "y", vamos em quaisquer uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "4/5". Vamos na expressão (I), que é esta;

x + 2y = 2 ---- substituindo-se "x' por "4/5", teremos;
4/5 + 2y = 2
2y = 2 - 4/5
y = (2 - 4/5)/2 ---- dividindo-se ambos os fatores por "2", ficaremos com:
y = 2/2 - (4/5)/2
y = 1 - (4/5*2)
y = 1 - 4/10 ---- note "4/10 = 2/5" (após simplificarmos tudo por "2"). Assim:
y = 1 - 2/5 ----- mmc, no 2º membro = 5. Assim, utilizando-o no 2º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

y = (5*1 - 1*2)/5
y = (5 - 2)/5
y = (3)/5 -- ou apenas:
y = 3/5 <--- Esta é a ordenada "y" do ponto de encontro das duas retas.

vi) Assim, as coordenadas pedidas serão: x = 4/5; e y = 3/5. Se chamarmos de "Q" o ponto de encontro das duas retas, teremos isto:

Q(4/5; 3/5)  <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o ponto que dá as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P(3; 5) sobre a reta "r".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.