Question

Dados m e n inteiros, considere a função f definida por
f(x) = 2 – m / (x+n) ,
para x ≠ – n.

a) No caso em que m = n = 2, mostre que a igualdade f(√2) = √2 se verifica.
b) No caso em que m = n = 2, ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados.
c) No caso em que m = n = 2, esboce a parte do gráfico de f em que x > – 2, levando em conta as informações obtidas nos itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.
d) Existe um par de inteiros (m, n) ≠ (2, 2) tal que a condição (f2) = 2 continue sendo satisfeita?

Answer 1

Considerando a função f definida tal qual está no enunciado, teremos:

f(x) = 2 -$\frac{m}{x + n}$, com x ≠ - n e m = n = 2

Então ... f(x)= 2 - $\frac{2}{x+ 2}$ ⇔ f(x) = $\frac{2x + 2}{x + 2}$


a) A igualdade f(√2) = √2 se verifica, pois:
f(√2) = $\frac{2 \sqrt{2}+2 }{ \sqrt{2}+2 } . \frac{ \sqrt{2}-2 }{ \sqrt{2}-2 }$ = 
$\frac{4 - 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}-4 }{-2}$ ⇔ f(√2)= $\frac{-2 \sqrt{2} }{-2}$ ⇔ f(√2) = √2


b) As interseções do gráfico de f com os eixos coordenados são:
Sendo A (x, 0) a intersecção de f com o eixo x, logo:
$\frac{2x +2}{x + 2} = 0$ ⇔  2x + 2 = 0 ⇔ x = -1 ⇒
A (-1;0)


c) Utilizando as informações obtidas em 'a' e 'b':
O gráfico de f contém os pontos (√2 ,√2), (-1, 0) e (0, 1). Considerando ainda que:

- Caso x tenda a -2, sempre apresentando valores maiores que -2, f9x) tenderá a - ∞.
- Caso x tenda a mais infinito, $\frac{2}{x+2}$ tenderá a zero e f(x) tenderá a 2.

Assim, teremos a representação do gráfico em anexo.


d) De acordo com a expressão abaixo:
f(√2) = √2 ⇒ 2 - $\frac{m}{ \sqrt{2}+n } = \sqrt{2}$ ⇔ 
⇔ 2√2 + (2n - m0 = n√2 + 2 ⇔
⇔ n = 2 e 2n - m = 2 ⇔ m = n = 2


Com isso, as respostas obtidas são:
a) A igualdade se verifica.
b) (-1,0) e (0,1)
c) ver gráfico em anexo
d) Não existe um par de inteiros.