Question

Dados esses três conjuntos M, N e P não vazios tais que M-N=P, considere as afirmativas:

1) P interseção N = □
2) M interseção P = P
3) P união (M interseção N) = M

quais estão certas?

obs: se possível responder com cálculos pfvr

Answer 1

Vou interpretar que na 1) seja conjunto vazio.

Na ordem:

$P\cap N = \emptyset \implies (M-N)\cap N = \emptyset$

Se de M tiro N a interseção de a interseção de (M-N) por N obviamente é vazia. Logo a primeira afirmação está correta.

Agora a segunda (e mais longa):

$M\cap P=P\Leftrightarrow M\cup P=M\implies (M\cup P)\cap P =P\implies P\cap(M\cup P)=P\implies (P\cap M)\cup(P\cap P)=P\implies P\cup P=P\implies P=P$

Logo a afirmação 2 também é verdadeira.

Agora a terceira:

$P\cup(M\cap N)=M\implies (P\cup M)\cap(P\cup N)=M\implies (P\cup M)\cap(P\cup N)=(P\cup N) \Leftrightarrow (P\cup N)\subset (P\cup M)\Leftrightarrow M=N$

E esse resultado é uma contradição a proposição inicial, pois se M=N então:

$M-N=P\implies M-M=P\implies P=\emptyset$

E o problema diz que os 3 conjuntos não são vazios. Logo a terceira afirmação é falsa.

Resumindo: primeira e segunda afirmação são verdadeiras. Já a terceira é falsa.