Question

Dados dois vetores a= 4i - 3j e b = 6i + 8j, determine o módulo , a direção e o sentido de a , b , de a + b , de b - a e de a - b . ​

Answer 1

Quando temos dois vetores, a e b, na base i e j, podemos realizar as operações de soma e subtração da maneira mais intuitiva, ou seja, somando os semelhantes, para determinar a norma (módulo) basta aplicar também a definição usual, para isso, dado os vetores genéricos

                                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = a\hat{\imath} + b\hat{\jmath}\\ v = c\hat{\imath} + d\hat{\jmath} \end{gathered}$

Com a, b, c, d ∈ $\mathbb{R}$, temos que as operações de soma e subtração se resume a

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}u \pm v= (a\pm c)\hat{\imath} + (b\pm d)\hat{\jmath}\end{gathered}$

Basta somar ou subtrair coordenada a coordenada, e para achar a norma do vetor basta fazer o termo que acompanha i ao quadrado somado ao termo que acompanha j ao quadrado, e tirar a raiz:

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}|u| = \sqrt{a^2+b^2}\end{gathered}$

dito isso, vamos ao exercício de fato:

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}a = 4\hat{\imath} - 3\hat{\jmath}\\ b = 6\hat{\imath} + 8\hat{\jmath} \end{gathered}$

Qual o módulo deles? usando a definição dada acima

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}|a| = \sqrt{4^2+\left(-3\right)^2} = 5\\ \\|b| = \sqrt{6^2+8^2} = 10\\ \\\end{gathered}$

Qual a direção e sentido? essa pergunta não fica clara sem adotar uma referência, poderíamos dar sua direção e sentido a partir do ângulo que o vetor faz com o eixo x, dessa forma, o ângulo formado do vetor u é dado por

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\theta = \arctan \left(\frac{b}{a}\right)\end{gathered}$

Lembrando que essa fórmula não diferencia bem os quadrantes, precisando você fazer uma análise mais precisa.

Todavia, se formos considerar os vetores da base como referência, todos os vetores são um "misto" de direções e sentidos, i representa a direção x, onde para a direita é positivo e j representa a direção y onde o sentido para cima é positivo, então para olhar sua direção e sentido basta olhar se são positivos ou negativos.

Continuando, vamos calcular a soma e subtrações dos vetores, temos que

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}a + b = 4\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + 6\hat{\imath} + 8\hat{\jmath} \\ \\a + b = (4 + 6)\hat{\imath} + (-3 + 8)\hat{\jmath} \\ \\a + b = 10 \hat{\imath} + 5\hat{\jmath}\end{gathered}$

E seu módulo é

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}|a + b| = \sqrt{10^2+5^2} = 5\sqrt{5}\end{gathered}$

Para a - b temos

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}a - b = 4\hat{\imath} - 3\hat{\jmath} - 6\hat{\imath} - 8\hat{\jmath} \\ \\a - b = (4 - 6)\hat{\imath} + (-3 - 8)\hat{\jmath} \\ \\a - b = -2 \hat{\imath} - 11\hat{\jmath}\end{gathered}$

Com módulo

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}|a - b| = \sqrt{(-2)^2+(-11)^2} = 5\sqrt{5}\end{gathered}$

E por fim

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}a + b\end{gathered}\Large\displaystyle\begin{gathered}b - a = 6\hat{\imath} + 8\hat{\jmath} - 4\hat{\imath} + 3\hat{\jmath}\\ \\b - a = (6 - 2)\hat{\imath} + (3 + 8)\hat{\jmath} \\ \\b - a = 2 \hat{\imath} + 11\hat{\jmath}\end{gathered}$

E de maneira análoga

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}|b - a| = \sqrt{2^2+11^2} = 5\sqrt{5}\end{gathered}$

Note que a-b e b-a tem a mesma direção, porém sentidos opostos! isso é óbvio dado que a-b é simplesmente b-a multiplicado por (-1). Essa seria outra maneira de fazer essa conta. Outra coisa curiosa é que todos os vetores resultante das operações tem mesmo módulo.

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.