Question

Dados dois vetores A⃗ = -2 i^ + 2,1 j^ e B⃗ = 2,8 i^ + -4,9 j^, calcule o ângulo entre esses dois vetores.

Answer 1

Temos os seguintes vetores:

$\vec{A} = -2\hat{i} + 2,1\hat{j} \: \: \: \: \: \\ \vec{B} = 2,8\hat{i}+ -4,9\hat{j}$

Para calcular o ângulo entre os vetores, devemos usar a relação do produto escalar entre dois vetores, dada por:

$A \: \cdot \: B = | |A| | \: . \: | | B| | \: . \: \cos \phi$

Isolando o cosseno do ângulo, temos que:

$\cos \phi = \frac{A \: \cdot \: B}{ | |A | | \: . \: | | B| | }$

Ou seja, para calcular o ângulo é necessário fazer a divisão do produto escalar entre os vetores, pelo módulo dos mesmos.

• Produto Escalar:

O produto escalar entre dois vetores tem como resultado um escalar, isto é, basta pegar os "coeficientes" do vetores.

$\vec{A} \: \cdot \: \vec{ B} = (A_x \: . \: B_x + A_y \: . \: B_y)$

Isso vai depender do seu vetor, se ele for R³ (x, y, z), você acrescenta os elementos Az . Bz. Sabendo disso vamos calcular:

$\vec{A} \: \cdot \: \vec{ B} = ( - 2 \: . \: 2,8 + 2,1 \: . \: (- 4,9)) \\ \vec{A} \: \cdot \: \vec{ B} = ( - 5 ,6 - 10,29) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \vec{A} \: \cdot \: \vec{ B} = - 15,89 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Módulo:

Agora vamos calcular o módulo, que é basicamente elevar os elementos ao quadrado e retirar a raiz:

$| |A| | = \sqrt{(A_x) {}^{2} +( A_y) {}^{2} } \: \: \\ | |A| | = \sqrt{ (- 2) {}^{2} + ( 2 ,1) {}^{2} } \\ | |A| | = \sqrt{8 ,41 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ } \\ \\ | | B | | = \sqrt{( B_x) {}^{2} + (B_y) {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \\ | |B| | = \sqrt{( 2,8) {}^{2} + ( - 4 , 9) {}^{2} } \: \\ | |B| | = \sqrt{31,85} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo os dados na relação, temos que:

$\cos \phi = \frac{ -15,89}{ \sqrt{8,41}. \sqrt{31,85} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \phi = \arccos \left(\frac{ -15,89}{ \sqrt{8,41}. \sqrt{31,85} } \right) \\ \\ \boxed{ \phi \approx166,14 {}^{ \circ} }$

Espero ter ajudado