Question

dados dois polígonos convexos x e y,sabe-se que y tem 4 lados e 30 diagonais a mais do que x.determine quais sao os poligonos x e y

Answer 1

O número de diagonais de um polígono é o resultado de uma combinação de n vértices tomados dois a dois, subtraído o número de lados desse polígono (para excluirmos os pontos adjacentes que, quando ligados, formam os lados do polígono e não diagonais internas).
Por exemplo, sabemos que o quadrado tem 4 vértices (pontos) = 4 lados e duas diagonais.
C4,2 - 4 = 4!/(2!.2!) - 4 = 4.3.2!/4 - 4 = 6 - 4 = 2 diagonais (como esperado). 

Generalizando:
C(lados,2) - (lados) = diagonais

Voltando ao exercício:
Lados e diagonais de x = lx e dx
Lados e diagonais de y = ly e dy

Dados: ly = lx + 4
           dy = dx + 30

C(ly,2) - ly = dy
C(lx+4,2) - (lx + 4) = dx + 30
(lx + 4)!/[(lx + 2)!.2!] - (lx + 4) = dx + 30
(lx + 4)(lx + 3)(lx + 2)!/[(lx + 2)!.2!] - (lx + 4) = dx + 30
(lx + 4)(lx + 3)/2 - (lx + 4) = dx + 30
(lx + 4)(lx + 3)/2 - lx - 4 - 30 = dx          ( I )

Sei que:
C(lx,2) - lx = dx
lx!/[(lx - 2)!.2!] - lx = dx
lx.(lx -1)(lx - 2)!/[(lx - 2)!.2!] - lx = dx
lx.(lx -1)/2 - lx = dx                             ( II )

Para saber quem são os polígonos, preciso determinar lx e ly. Igualando as equações acima, temos:
(lx + 4)(lx + 3)/2 - lx - 4 - 30 = lx.(lx -1)/2 - lx    (multiplicando tudo por 2:)
(lx + 4)(lx + 3) - 2lx - 8 - 60 = lx.(lx -1) - 2lx
lx² + 4lx + 3lx + 12 - 68 = lx² - lx
8lx = 56
lx = 7 (heptágono).

Retornando na relação entre lx e ly:
ly = lx + 4 = 7 + 4 = 11 (hendecágono).

Portanto os polígonos são o heptágono e o hendecágono.