Question

dados B(2,3) e C(-4,1),determine o ponto A no eixo y , sabendo que o triangulo ABC e retangulo em A (isto e ,o vertice angulo reto e A).

Answer 1

O ponto A para que o triângulo ABC seja retângulo é A(0,-1) ou A(0,5).

Como se achar a ponto A se ABC é um triângulo retângulo?

Se o ângulo BAC no triângulo retângulo deve ser reto, o segmento BC é a hipotenusa desse triângulo. Em todo triângulo retângulo, o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa. Portanto, o circuncentro deste triângulo será o ponto médio do segmento BC, o ponto D:

$(x_D,y_D)=(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2})=(\frac{2-4}{2},\frac{3+1}{2})=(-1,2)$

A distância entre o ponto D e qualquer dos extremos do segmento BC é:

$d_1=\sqrt{(2-(-1))^2+(3-2)^2}=\sqrt{10}$

O circuncentro do triângulo (o ponto D(-1,2)) é equidistante dos três vértices do triângulo. Além disso, se o ponto A está sobre o eixo das ordenadas, tem o formato (0,y). Então, a ordenada desse ponto é:

$d_1=\sqrt{(0-(-1))^2+(y-2)^2}=\sqrt{10}\\\\1+(y-2)^2=10\\\\1+y^2-4y+4=10\\\\y^2-4y-5=0\\\\y=\frac{4\ñ\sqrt{(-4)^2-4.1.(-5)}}{2.1}\\\\y=5, y=-1$

Então, as locações possíveis para o ponto A são (0,5) e (0,-1).

Saiba mais sobre o circuncentro do triângulo em https://brainly.com.br/tarefa/269698

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