Question

Dados A=(x,5), B(-2,3), e C(4,1), obtenha x para que A seja equidistante de B e C

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

O termo equidistância quer dizer a mesma distância entre pontos, dependendo da questão temos equidistância em apenas um ponto, como é o caso dessa aqui. Ela fala que o o PONTO A é equidistante de B e C, ou seja, a distância de A para B e para C são as mesmas, com isso podemos montar uma expressãozinha:

$\Large d(AB) = d(AC)$

Em tal expressão está implícito a equidistância entre os pontos.

Vamos calcular a distância de AB e BC:

I) Distância AB:

Para realizar esse cálculo vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos que é dada por:

$\boxed{d_{(A,B)} = \sqrt{(xb - xa) {}^{2} + (yb - ya) {}^{2} } }$

Onde os valores de Xa, xb, ya e yb representam os valores de "x" e "y" das coordenadas A e B, sabendo disso, vamos organizar tais dados:

$\begin{cases}A(x,5) \rightarrow \: xa = x \: \: \: \: \: ya = 5 \\ B(-2,3) \rightarrow \: xb = - 2 \: \: \: \: \: yb = 3\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$d_{(A,B)} = \sqrt{( - 2 - x) {}^{2} + (3 - 5) {}^{2} } \\ d_{(A,B)} = \sqrt{( - 2 - x) {}^{2} + ( - 2) {}^{2} } \\ d_{(A,B)} = \sqrt{( - 2 - x) {}^{2} + 4}$

Vamos resolver aquele produto notável.

$\boxed{\begin{cases}( - 2 - x) {}^{2} \rightarrow ( - 2 - x).( - 2 - x) \\ ( - 2).( - 2) - 2.( - x) - x.( - 2) -x.( - x) \\ 4 + 2x + 2x + x {}^{2} \\ \bigstar x {}^{2} + 4x + 4 \bigstar \end{cases}}$

Substituindo:

$d_{(A,B)} = \sqrt{(x {}^{2} + 4x + 4 + 4 } \\ \bigstar d_{(A,B)} = \sqrt{x {}^{2} + 4x + 8 } \bigstar$

Reserva essa expressão↑.

II) Distância de AC:

Vamos usar a mesma fórmula só que com letrinhas diferentes.

$\boxed{d_{(A,C )} = \sqrt{(xc - xa) {}^{2} + (yc - ya) {}^{2} } }$

Organizando os dados:

$\begin{cases}A(x,5) \rightarrow xa = x \: \: \: \: \: ya = 5\\ C(4,1) \rightarrow xc = 4 \: \: \: \: \: \: yc = 1\end{cases}$

Substituindo na fórmula:

$d_{(A,C )} = \sqrt{(4 - x) {}^{2} + (1 - 5) {}^{2} } \\ d_{(A,C )} = \sqrt{(4 - x) {}^{2} + ( - 4) {}^{2} } \\ d_{(A,C )} = \sqrt{(4 - x) {}^{2} + 16}$

Resolvendo o produto notável:

$\boxed{\begin{cases}(4 - x) {}^{2} \rightarrow (4 - x).(4 - x) \\ 4.4 - 4.x - 4.x - x. ( - x) \\ 16 - 8x + x {}^{2} \\ \bigstar x {}^{2} - 8x + 16 \bigstar \end{cases}}$

Substituindo na continuação da fórmula:

$d_{(A,C )} = \sqrt{x {}^{2} - 8x + 16 + 16} \\ \bigstar d_{(A,C )} = \sqrt{x {}^{2} - 8x + 32} \bigstar$

Reversa essa também ↑.

Retomando ao começo questão onde montamos a expressão d(AB) = d(AC), podemos observar que ela quer dizer que podemos igualar as duas distâncias que obtemos.

$d(AB) = d(AC) \\ \sqrt{x {}^{2} + 4x + 8} = \sqrt{x {}^{2} - 8x + 32}$

Agora estamos com uma equação irracional, onde devemos elevar ambos os membros ao quadrado para que a raiz possa sumir.

$( \sqrt{x {}^{2} + 4x + 8) } ) {}^{2} = ( \sqrt{x {}^{2} - 8x + 32 } ) {}^{2} \\ x {}^{2} + 4x + 8 = x {}^{2} - 8x + 32 \\ \red{\cancel{x {}^{2} - x {}^{2}}} + 4x + 8x = 32 - 8 \\ 12x = 24 \\ x = \frac{24}{12} \\ \boxed{\boxed{x = 2}}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️