Question

Dados a circunferência C: x2 + y2 - 4x + 6 y - 23 = 0 e o ponto
P(4,4), determine o raio da circunferência tangente a C cujo centro é P.

Answer 1

Para ser mais fácil interpretar este exercício, fiz um esquema que deixo em anexo.

Nele poderás ver mais facilmente que o raio da circunferência de centro P, tangente à circunferência dada, é a diferença entre a distância entre os centros das circunferências e o raio da circunferência dada, ou seja, sendo c a circunferência dada, C o seu centro, e p a circunferência de centro P,

$r_p=\overline{CP}-r_c$

Comecemos por determinar o raio e centro da circunferência c.

As circunferências de centro (a ; b) são, normalmente, descritas por equações do tipo  $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

Tentemos reescrever a equação dada para chegar a este tipo de equação.

    $x^2+y^2-4x+6y-23=0\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^2-4x)+(y^2+6y)=23\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^2-2\times2x)+(y^2+2\times3y)=23\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^2-2\times2x+2^2-2^2)+(y^2+2\times3y+3^2-3^2)=23\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^2-2\times2x+2^2)+(y^2+2\times3y+3^2)=23+2^2+3^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x^2-2\times2x+2^2)+(y^2+2\times3y+3^2)=23+4+9\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=36\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow (x-2)^2+(y+3)^2=6^2$

Podemos assim concluir que a circunferência c tem centro (2 ; -3) e raio 6.

Calculemos agora a distância entre os centros das circunferências.

    $\overline{CP}=\sqrt{(x_p-x_c)^2+(y_p-y_c)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{(4-2)^2+(4-(-3))^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{(4-2)^2+(4+3)^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{2^2+7^2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{4+49}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow\overline{CP}=\sqrt{53}$

Podemos, agora, calcular o raio da circunferência p usando a equação que deduzimos no princípio.

    $r_p=\overline{CP}-r_c\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow r_p=\sqrt{53}-6\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow r_p\approx 1,28$

Resposta: O raio da circunferência tangente a C cujo centro é P mede  $\sqrt{53}-6$  , isto é, cerca de 1,28.

Podes  ver mais exercícios sobre geometria em:

• https://brainly.com.br/tarefa/31807994
• https://brainly.com.br/tarefa/34031762
• https://brainly.com.br/tarefa/31003831