Question

dados a, b, p e q numeros reais, então (ap-bq)^2 + (aq+bp)^2 = (a^2 + b^2)(p^2+q^2). qual a identidade que teremos, se, na igualdade acima fizermos p=a e q=b?

Answer 1

Primeiramente vamos analisar a veracidade da identidade:

$(ap-bq)^2+(aq+bp)^2=(a^2+b^2)(p^2+q^2)$

Desenvolveremos a parte esquerda da identidade:

$a^2p^2-2abpq+b^2q^2+a^2q^2+2abpq+b^2p^2$

$a^2p^2+a^2q^2+b^2p^2+b^2q^2$

$a^2(p^2+q^2)+b^2(p^2+b^2)$

$(a^2+b^2)(p^2+q^2)$

Provamos que a identidade confere ao chegarmos na segunda parte a partir da primeira.

Agora veremos o que acontece com o desenvolvimento se p=a e q=b:

$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2$

$a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2$

$a^4+2a^2b^2+b^4$

$(a^2+b^2)^2$

Neste caso particular a identidade é um quadrado da soma:

$(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=(a^2+b^2)^2$