Question

dados A(a), B(2a+1), C(3a+1) e D(4a+3) determine P(x), tal que AP+BP+PC-PD=0

Answer 1

è só não se apavorar com tanta letra.
Substitua as letras dadas pelos valores atribuídos a cada uma delas.
A(a), B(2a+1), C(3a+1) e D(4a+3)
AP +    BP      +    PC      -    PD     =  0
aP + (2a+1)P + P(3a+1) - P(4a+3) = 0    ...... multiplique P pelos termos dentro do
aP + 2aP + P  + 3aP + P - 4aP - 3P = 0             parênteses
aP + 2aP + 3aP - 4aP + P+ P -3P = 0         reordene pra não se perder na conta
2aP - 1P          fatoração por colocação de um termo comum em   evidência
P(2a-1)           
não fecha com teu gabarito de +1.
Mas pode refazer a conta que vai ver que o resultado é sim P(2a-1)