Question

Dados A (5,-2) e B (4,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.?

Answer 1

Pontos:
A(5,-2)
B(4,-1)
C ??
D ??
Calculando a distância do ponto A até o ponto B:

d²=(Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²
d²=(4-5)²+(-1-(-2))²
d²=-1²+1²
d²=2
d=√2 <= Distância do ponto A até o ponto B

Calculando a reta AB:

M=YB-YA/XB-XA
M=-1-(-2)/4-5
M=-1+2/-1
M=1/-1
M=-1 <= Coeficiente angular da reta AB

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-(-1)=-1(X-4)
Y+1=-X+4
Y=-X+4-1
Y=-X+3 <= Reta AB

A reta que passa pelos pontos A e D é perpendicular a reta AB. Portanto,

M(ab)M(ad)=-1
-1M(ad)=-1
M(ad)=-1/-1
M(ad)=1 <= Coeficiente angular da reta AD

Calculando a equação da reta AD:

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-(-2)=1(X-5)
Y+2=X-5
Y=X-5-2
Y=X-7 <= Reta AD

O ponto D pertence a reta AD, logo, esse ponto tem o formato D(X, X-7)

Calculando o ponto D:

d²=(Xd-Xa)²+(Yd-Ya)²
(√2)²=(X-5)²+(X-7-(-2))²
2=X²-10X+25+(X-7)²+4(X-7)+4
2=X²-10X+X²-14X+49+4X-28+29
2X²-20X+50-2=0
2X²-20X+48=0 (/2)
X²-10X+24=0 

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = -10² - 4 . 1 . 24
Δ = 100 - 4. 1 . 24
Δ = 4

Há 2 raízes reais.

2) Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a
x' = (--10 + √4)/2.1
x' = 12 / 2
x' = 6

x'' = (--10 - √4)/2.1
x'' = 8 / 2
x'' = 4

Encontramos dois valores para X, um desses valores está na esquerda e o outro está à direita do ponto A.

Achando os valores para Y:

Y=X-7
Y=6-7
Y=-1

Y=X-7
Y=4-7
Y=-3

Portanto, quando X for 6, Y será -1; e quando X for 4, Y será -3

D(6,-1) ou D(4,-3)

Agora vamos achar as coordenadas do ponto C utilizando os mesmos passos anteriores:

Calculando a equação da reta AC:

Note que, M(ad)=M(bc), pois são retas paralelas.

Y-Yo=M(X-Xo)
Y-(-1)=1(X-4)
Y+1=X-4
Y=X-4-1
Y=X-5

Como se trata de um quadrado, a distância de todos os lados serão sempre iguais. Portanto, d(bc)=√2

O ponto C pertence a reta BC, logo, esse ponto tem o formato C(X, X-5)

Calculando o ponto C:

d²=(Xc-Xb)²+(Yc-Yb)²
(√2)²=(X-4)²+(X-5-(-1))²
2=X²-8X+16+X²-10X+25+2X-10+1
2X²-16X+32-2=0
2X²-16X+30=0

1) Calculando o Δ da equação completa:

Δ = b² - 4.a.c 
Δ = -16² - 4 . 2 . 30
Δ = 256 - 4. 2 . 30 
Δ = 16

Há 2 raízes reais.

2) Aplicando Bhaskara:

x = (-b +- √Δ)/2a
x' = (--16 + √16)/2.2
x' = 20 / 4
x' = 5

x'' = (--16 - √16)/2.2
x'' = 12 / 4
x'' = 3

Encontramos dois valores para X, um desses valores está na esquerda e o outro está à direita do ponto B.

Achando os valores para Y:

Y=X-5
Y=5-5
Y=0

Y=X-5
Y=3-5
Y=-2

Portanto, quando X for 5, Y será 0; e quando X for 3, Y será -2

C(5,0) ou C(3,-2)

Logo, os outros dois vértices (C e D) são:

C(5,0) ou C(3,-2)
D(6,-1) ou D(4,-3)