Question

Dados a=(2,1,-3) e b=(1,-2,1) determine o vetor v tal que v _|_a, v_|_b, e |v|=5?

Answer 1

A questão pede um vetor simultaneamente ortogonal a 'a' e a 'b'. Pela propriedade do produto vetorial: a X b é simultaneamente ortogonal aos vetores 'a' e a 'b'.

Seja w= a X b

$\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&1&-3\\1&-2&1\end{array}\right] =i-3j-4k-k-6i-2j=-5i-5j-5k$

w=(-5, -5, -5)
||w||=√(-5)²+(-5)²+(-5)²=√75=5√3
(Temos que w é um vetor simultaneamente ortogonal a 'a' e a 'b')

Agora seja u, um vetor unitário:

$u= \frac{(-5,-5,-5)}{ 5\sqrt{3} } =(- \frac{1}{ \sqrt{3}} ,- \frac{1}{ \sqrt{3}},- \frac{1}{ \sqrt{3}} )$
(Note que esse vetor 'u' também é simultaneamente ortogonal a 'a' e a 'b')

Mas,  queremos um vetor com norma igual a 5, e que seja simultaneamente ortogonal a 'a' e a 'b'. Como w obedece essa condição (de ser simultaneamente ortogonal a 'a' e a 'b'), logo u também obedece. Desse modo, se pegarmos um vetor v=5u, teremos um vetor de norma igual a 5, e que é simultaneamente ortogonal a 'a' e a 'b'.

Então:
 $v=5u \\ v=5(- \frac{1}{ \sqrt{3}},- \frac{1}{ \sqrt{3}},- \frac{1}{ \sqrt{3}}) \\ v=(- \frac{5}{ \sqrt{3}},- \frac{5}{ \sqrt{3}},- \frac{5}{ \sqrt{3}})$