Question

Dados 10 pontos em um plano: P1, P2, …, P10, somente os 5 pontos P1, P2, P3, P4 e P5 pertencem a uma mesma reta, não havendo quaisquer outros 3 colineares. Quantos triângulos distintos com vértices nesses pontos podem ser formados?

Answer 1

Podem ser formados 110 triângulos distintos com vértices nesses pontos.

Observe que existem três possibilidades:

• Os vértices dos triângulos são os pontos P6, P7, P8, P9 ou P10
• Dois vértices estão na reta de P1, P2, P3, P4, P5 e o último vértice é P6, P7, P8, P9 ou P10
• Um vértice é P1, P2, P3, P4 ou P5 e dois vértices são P6, P7, P8, P9 ou P10.

Perceba que utilizaremos a fórmula da Combinação: $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Na primeira possibilidade, existem $C(5,3)=\frac{5!}{3!2!}=10$ triângulos diferentes.

Na segunda possibilidade, temos $C(5,2)=\frac{5!}{3!2!}=10$ opções para escolher os pontos P1, P2, P3, P4 ou P5 e 5 opções para escolher o outro vértice (P6, P7, P8, P9 ou P10).

Logo, 5.10 = 50 triângulos.

Na terceira possibilidade temos $C(5,2)=\frac{5!}{3!2!}=10$ opções para escolher os pontos P6, P7, P8, P9, P10 e 5 opções para escolher o outro vértice.

Logo, 5.10 = 50 triângulos.

Portanto, no total existem 10 + 50 + 50 = 110 triângulos distintos.